Nolgal
Nolgal - Erectus - 79 Punti
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Considera un triangolo qualsiasi tale che i suoi lati b e c misurino rispettivamente 1\5 e 1\3 e la tangente dell'angolo opposto a b sia 1\2. Calcola l'area del triangolo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Il metodo più semplice è determinare il seno dell'angolo
[math]\alpha[/math]
compreso tra i lati noti. Dal teorema dei seni
[math]\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}[/math]

e quindi

[math]\sin\gamma=\frac{c\sin\beta}{b}[/math]

D'altra parte

[math]\tan^2\beta=\frac{\sin^2\beta}{1-\sin^2\beta}\ \Rightarrow\\ \sin\beta=\frac{\tan\beta}{\sqrt{1+\tan^2\beta}}=\frac{1/2}{\sqrt{1+1/4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}[/math]

per cui

[math]\sin\gamma=\frac{1/5\cdot 1/\sqrt{5}}{1/3}=\frac{3}{5\sqrt{5}}[/math]

Infine

[math]\sin\alpha=\sin(\pi-(\beta+\gamma))=\sin(\beta+\gamma)=\\
\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta=\\
\frac{1}{sqrt{5}}\cdot\sqrt{1-\frac{9}{125}}+\frac{3}{5\sqrt{5}}\cdot\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\\
\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{2\sqrt{29}}{5\sqrt{5}}+\frac{3}{5\sqrt{5}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{29}+3)}{25}[/math]

Pertanto

[math]S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{2(\sqrt{29}+3)}{25}=\frac{\sqrt{29}+3}{375}[/math]
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