Eliis
Eliis - Ominide - 28 Punti
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Potete dirmi come faccio a trovare la circonferenza avendo questi info?


-3 punti
-centro e raggio
-2 punti e raggio
-centro e un punto
-centro e retta tangente
-2 punti e retta tangente
-2 punti e centro appartenente a una retta
-2 punti estremi del diametro

grazie mille.Ps.domani ho il test :)

Aggiunto 25 secondi più tardi:

Grandissimo :D
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Considera l'equazione generica
[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

tre punti:

Sistema a tre equazioni (e tre incognite, ovvero a,b,c ). in ogni equazione sostituisci le coordinate dei punti (condizione di appartenenza di un punto a una curva/funzione e' che le coordinate del punto ne soddisfino l'equazione)

Quindi detti A,B,C i punti, avrai un sistema cosi' composto:

[math] \{ x_A^2+y_A^2+ax_A+by_A+c=0 \\ x_B^2+y_B^2+ax_B+by_B+c=0 \\ x_C^2+y_C^2+ax_C+by_C+c=0 [/math]

Centro e raggio

Sapendo che le coordinate del centro sono
[math] x_C=- \frac{a}{2} \ \ y_C= - \frac{b}{2} [/math]
e che il raggio e'
[math] r= \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \(- \frac{b}{2} \)^2 + c} [/math]
dovrai risolvere il sistema:
[math] \{- \frac{a}{2}=x_C \\ - \frac{b}{2}= y_C \\ \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \(- \frac{b}{2} \)^2 + c}=r [/math]

dove r (il raggio) e le coordinate del centro sono note

2 punti e raggio:

sistema con due equazioni del primo caso e l'equazione del raggio

centro e punto:

un sistema con le prime due equazioni del secondo esempio e una del primo

Centro e retta tangente

Due equazioni sono quelle del centro del secondo esempio.

la terza equazione consistera' nel porre la distanza tra la retta tangente e il centro = raggio.

Quindi sapendo che
[math] r= \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \(- \frac{b}{2} \)^2 + c} [/math]
e che la distanza centro-retta e'
[math] d= \frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]
(dove a,b e c sono i coefficienti (noti) della retta) la terza equazione sara'
[math] \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \(- \frac{b}{2} \)^2 + c}= \frac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

(ricordati che a destra hai tutto noto, non confondere a,b,c della parte sinistra (che sono incognite e sono i coefficienti della circonferenza) con a,b e c della parte destra (che sono noti e sono i coefficienti della retta data in forma implicita (ax+by+c=0))

due punti e retta tangente.

Grazie ai due punti, con le equazioni del primo esempio, trovi i valori di due parametri in funzione del terzo.

metti a sistema la circonferenza (con un unico parametro) con la retta.
Avrai un'equazione parametrica di secondo grado.
Calcoli il delta (che conterra' il parametro) e poni delta = 0. Risolvi l'equazione e trovi il valore di quel parametro che annulla il delta.
Grazie alle altre due equazioni, per sostituzione, troverai poi gli altri due parametri.

2 punti e centro appartenente alla retta.

Grazie ai due punti trovi l'equazione con un parametro solo.

La retta data in forma esplicita sara' della forma y=mx+q

Poi poni che -b/2 della circonferenza (ovvero l'ordinata del centro) sia uguale a
[math] m \( - \frac{a}{2} \) + q [/math]
dal momento che la x e la y del centro devono mantenere la relazione imposta dalla retta
2 punti estremi del diametro.

Hai due punti (due equazioni del primo caso)
e la distanza tra i due punti (che calcoli con
[math] d= \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} [/math]
) che e' il diamtetro.
Dividi per due e hai il raggio.
Ti trovi nella stessa situazione del secondo caso.
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