Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24947 Punti
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La professoressa ha fatto notare che su un libro di testo del primo anno è riportato la seguente affermazione:

L'ordine di grandezza di un numero è la potenza del 10 più vicina al numero.

Per esempio, l'ordine di grandezza di
[math]1,9 \cdot 10^{5}[/math]
è
[math]10^{5}[/math]
, mentre quello di
[math]9,4 \cdot 10^{2}[/math]
è
[math]10^{3}[/math]
. In generale, per determinare l'ordine di grandezza di un numero si procede così:

• Si scrive il numero in notazione scientifica cioè nella forma
[math]\pm a \cdot 10^{r}[/math]
con
[math]a \in \mathbb{Q}[/math]
(
[math]1\leq a<10[/math]
) e
[math]r\in \mathbb{Z}[/math]
.

• Se
[math]a<5[/math]
, l'ordine di grandezza è
[math]10^{r}[/math]
, se
[math]a\geq 5[/math]
, l'ordine di grandezza è
[math]10^{r+1}[/math]
.

Invece su un altro libro lo spiega in questo modo:

L'ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina al numero.

Chiariamo cosa intendiamo per essere più vicino, con un paio di esempi.


[math]4[/math]
è più vicino a
[math]10^{0}=1\vee 10^{1}=10[/math]
?
Per rispondere confrontiamo i rapporti
[math]\frac{4}{10^{0}}\wedge \frac{10^{1}}{4}[/math]
, cioè:
[math]\frac{4}{1}=4[/math]
,
[math]\frac{10}{4}=2,5[/math]
.
Per passare da
[math]10^{0}[/math]
a
[math]4[/math]
dobbiamo moltiplicare per
[math]4[/math]
, per passare da
[math]4[/math]
a
[math]10^{1}[/math]
moltiplichiamo per un fattore più piccolo, cioè
[math]2,5[/math]
. Allora
[math]4[/math]
è più vicino a
[math]10^{1}[/math]
.

• Qual è il valore di
[math]x[/math]
ugualmente vicino a
[math]10^{0}[/math]
e a
[math]10^{1}[/math]
?
I due rapporti
[math]\frac{x}{1}\wedge \frac{10}{x}[/math]
devono essere uguali, cioè:
[math]x:1=10:x \rightarrow x^{2}=10 \rightarrow x=\sqrt{10}=3,16227...[/math]
.

[math]\sqrt{10}[/math]
è vicino a
[math]10^{0}[/math]
tanto quanto a
[math]10^{1}[/math]
. Per convenzione diciamo che il suo ordine di grandezza è
[math]10^{0}[/math]
.

Possiamo allora dare questa regola.

Un numero, espresso in notazione scientifica con il prodotto
[math]d\cdot 10^{n}[/math]
, ha ordine di grandezza:

[math]10^{n}[/math]
se
[math]|d|\leq \sqrt{10}[/math]
.

[math]10^{n+1}[/math]
se
[math]|d|>\sqrt{10}[/math]
.

A questo punto la domanda è: Perché vengono affermati due tipi differenti? Cioè perché nel secondo
[math]\sqrt{10}[/math]
dovrebbe essere equidistante da
[math]10^{0}\wedge 10^{1}[/math]
?
RobertaMate
RobertaMate - Sapiens Sapiens - 1182 Punti
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Ciao Anthrax606...Allora, le due definizioni scritte sono perfettamente identiche, sono le spiegazioni ad essere differenti e, sinceramente, la seconda mi sembra assurda! Posso chiederti il testo dal quale è tratta??
Avrebbe più senso confrontare i rapporti 1/4 e 10/4 ...
Secondo te, 4 è più vicino ad 1 oppure a 10??

Allora, si possono dare definizioni differenti di ordine di grandezza di un numero, l'importante è che diano, per lo stesso numero, risultati identici!!
In generale, un numero scritto in notazione scientifica è sempre compreso tra quella potenza di 10 e la successiva, cioè

10^r < a*(10^r) < 10^(r+1) dove 1 <= a < 10 e r=0,1,2,...

Di conseguenza, se a < 5 l'ordine è 10^r, se 5 <= a < 10 l'ordine è 10^(r+1).
Il motivo è questo:
dire "più vicino" equivale a dire che la distanza deve essere minima. Saprai bene che la distanza tra due numeri si trova con il valore assoluto della differenza tra i due numeri (praticamente fai la sottrazione tra i due numeri e prendi il risultato senza il segno), allora l'ordine di grandezza di un numero sarà la potenza di 10, 10^k, che renderà minimo il valore della distanza
|[a*(10^r)]-(10^k)| dove k=r oppure k=r+1.

ESEMPIO:
1,9*(10^5) ha ordine di grandezza 10^k=10^5 perché
10^5 < 1,9*(10^5) < 10^6
|[1,9*(10^5)]-(10^5)|=|190000-100000|=|90000|=90000
|[1.9*(10^5)]-(10^6)|=|190000-1000000|=|-810000|=810000
810000 > 90000 => k=5

ESEMPIO:
9,4*(10^2) ha ordine di grandezza 10^k=10^3 perché
10^2 < 9,4*(10^2) < 10^3
|[9,4*(10^2)]-(10^2)|=|940-100|=|840|=840
|[9,4*(10^2)]-(10^3)|=|940-1000|=|-60|=60
840 > 60 => k=3

ESEMPIO:
4 = 4*(10^0) = 4*1 ha ordine di grandezza 10^k=10^0=1 perché
10^0 < 4*(10^0) < 10^1
|[4*(10^0)]-(10^0)|=|4-1|=|3|=3
|[4*(10^0)]-(10^1)|=|4-10|=|-6|=6
6 > 3 => k=0

Infine, a me non risulta che rad (10) sia equidistante da 1 e da 10!! 5,5 lo è:
|x-(10^0)|=|x-(10^1)| elevo al quadrato ambo i membri
(|x-1|)^2 = (|x-10|)^2
(x^2)-2x+1 = (x^2)-20x+100
18x = 99
x = 5,5

Spero sia tutto chiaro! Se ci sono problemi, chiedi pure!! :)
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 24947 Punti
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Alla fine son riuscito a spiegarlo attraverso un grafico di una funzione esponenziale! Grazie mille per la tua spiegazione alquanto esauriente :]
RobertaMate
RobertaMate - Sapiens Sapiens - 1182 Punti
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Figurati!! Meglio così!! :)
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