ciro93
ciro93 - Erectus - 84 Punti
Rispondi Cita Salva
non ho proprio idea di come si faccia dato ke il prof nn le ha spiegate,,mi potreste aiutare-??? questa è la traccia:


dopo aver determinato gli elementi fondamentali (punti base, asse radicale, retta dei centri ) del fascio di circonferenze di equazione x^2+y^2+4x-y+K(x^2+y^2-2x)=0, determina per quale valore di k si ottengono:
-la circonferenza passante per il punto (2;1)
- la circonferenza di raggio 1
- la circonferenza con centro sull'asse y.



se lo fate vi ringrazio molto...fatemi sapere al più presto...ciao...

Aggiunto 1 minuti più tardi:

i risultati sono :
per la prima domanda il valore di k deve essere -12
per la seconda il valore di k deve essere 13/24
e per la terza il valore di k deve essere 2
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
Rispondi Cita Salva
Nel tuo fascio di circonferenze, hai le due circonferenze generatrici, che sono:

[math] C_1:x^2+y^2+4x-y \\ C_2:x^2+y^2-2x [/math]

I punti base sono i due punti da cui passano tutte le circonferenze.
Dal momento che hai le due generatrici, anch'esse condivideranno i punti base, che pertanto saranno la soluzione del sistema

[math] \{ x^2+y^2+4x-y \\ x^2+y^2-2x [/math]

L'asse radicale, altro non e' che la differenza tra le due circonferenze generatrici, e quindi il risultato di

[math] x^2+y^2+4x-y-(x^2+y^2-2x) [/math]

Il luogo dei centri lo ricavi:
scrivendoti il fascio nella forma canonica (ovvero moltiplicando k per tutta la circonferenza tra parentesi e raccogliendo x^2, y^2 ecc.

A quel punto trovi x e y generica del centro e, una volta scritte ascissa e ordinata in funzione di k, ricavi k e eguagli.

cioe':

[math] x^2+y^2+4x-y+k(x^2+y^2-2x)=0 \to \\ x^2+y^2+4x-y+kx^2+ky^2-2kx [/math]

Raccogli a fattore parziale secondo l'incognita:

[math] x^2(1+k)+y^2(1+k)+x(4-2k)-y=0 [/math]

Ti ricavi x e y del centro

[math] x_c=- \frac{4-2k}{2} \to x_c=-2+k \\ y_c= \frac12 [/math]

Dal momento che alla y non compare il parametro k, significa che tutti i centri hanno ordinata fissa e pertanto giaciono sulla retta
[math] y= \frac12 [/math]

Per ottenere la circonferenza passante per il punto, e' sufficiente che tu sostituisca le coordinate del punto (x e y) alle x e y del fascio. Troverai un'equazione in k.

Dal fascio scritto come l'abbiamo riportato per calcolare il centro generico, ti ricavi il raggio (con la formula) e lo poni = 1.

Anche qui dovrai risolvere un'equazione in k.

Dal momento che abbiamo trovato le coordinate generiche del centro, sai che la circonferenza con centro sull'asse y avra' x del centro = 0.

Ma siccome x del centro = -2+k = 0. allora k=2.
sostituisci 2 al valore di k e trovi la circonferenza, sommando e sottraendo i monomi simili.
ciro93
ciro93 - Erectus - 84 Punti
Rispondi Cita Salva
grazie però nn ho capito cm si fa calcolarsi la circonferenza di raggio 1
e la circonferenza cn centro sull'asse y...nn li ho capiti potresti spiegarli meglio..??
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
Rispondi Cita Salva
Abbiamo detto che la circonferenza parametrica (ovvero il fascio) e':

[math] (1+k)x^2+(1+k)y^2+(4-2k)x-4y = 0 [/math]

Per prima cosa la scrivi nella forma canonica

[math] x^2+y^2+ \frac{4-2k}{1+k}x- \frac{4}{1+k}y = 0 [/math]

(e pertanto ti chiedo scusa, perche' sopra ho sbagliato..)

Quindi abbiamo i parametri:

[math] a= \frac{4-2k}{1+k} \\ b= - \frac{4}{1+k} \\ c=0 [/math]

Il centro generico della circonferenza sara':

[math] x_c= - \frac{ \frac{4-2k}{1+k}}{2} = - \frac{2-k}{1+k} [/math]

e

[math] y_c= - (- \frac{ \frac{4}{1+k}}{2})= \frac{2}{1+k} [/math]


E pertanto siccome (dalla seconda) trovi che

[math] y_c(1+k)= 2 \to k= \frac{2}{y_c}-1 [/math]

Sostituendo nella x del centro, avrai

[math] x_c= - \frac{2-( \frac{2}{y_c}-1)}{1+ \frac{2}{y_c}-1} = - \frac{ \frac{y_c-2}{y_c}}{ \frac{2}{y_c}= \frac{-y_c+2}{2} [/math]

e dunque la retta dei centri sara'

[math] y_c=-2x_c+4 [/math]

Il raggio generico delle circonferenze del fascio sara'

[math] r= \sqrt{(x_c)^2+(y_c)^2-c} [/math]

Ma siccome c=0, avremo

[math] \sqrt{ (- \frac{2-k}{1+k})^2+ ( \frac{2}{1+k})^2} = 1 [/math]

Perche' vogliamo raggio = 1.

elevi tutto al quadrato e risolvi l'equazione, trovando il/i valore/i di k.


La circonferenza con centro sull'asse y, avra
[math] x_c=0 [/math]
perche' sappiamo che tutti i punti che giaciono sull'asse y hanno ascissa =0.
Ma siccome
[math] x_c=- \frac{2-k}{1+k} = 0 \to 2-k=0 \to k=2 [/math]

a questo punto sostituisci 2 ai valori di k del fascio e ottieni la circonferenza di interesse.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa

Lascia un messaggio ai conduttori Vai alla pagina TV

In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di settembre
Vincitori di settembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

eleo

eleo Moderatore 21577 Punti

VIP
Registrati via email