lala5096
lala5096 - Erectus - 67 Punti
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Dopo aver scomposto il polinomio x^3 − kx^2 − 4x + 4k, determina il valore di k per il quale la scomposizione contiene il quadrato di un binomio.

^ = ELEVAMENTO A POTENZA
enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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Ciao lala5096,

il polinomio da te scritto lo puoi scomporre in questo modo:

[math]x^3 − kx^2 − 4x + 4k = k(4-x^2) - x(4-x^2) = (k-x)(2-x)(2+x)[/math]

Il quadrato di binomio
[math](a\pm b)^2[/math]
si può ottenere se nella precedente scomposizione poni
[math]k = 2[/math]
infatti:
[math] (k-x)(2-x)(2+x) = (2-x)^2(2+x)[/math]
lala5096
lala5096 - Erectus - 67 Punti
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enrico potresti spiegare meglio?

Questa risposta è stata cambiata da TeM (12-07-15 10:27, 2 anni 2 mesi 15 giorni )
enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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Considerando le seguenti scomposizioni:



[math]
x^3−kx^2−4x+4k = \overbrace{k(4−x^2)}^{4k - kx^2}+ \overbrace{x(x^2- 4)}^{x^2 - 4x} = k(4−x^2)- x(4-x^2) = \\
=(k−x)(4-x^2) = (k-x)\overbrace{(2−x)(2+x)}^{(a^2-b^2)= (a+b)(a-b)}\\
[/math]

Nell'ultimo passaggio ho utilizzato il prodotto notevole che ti ho scritto sopra la parentesi graffa
[math](a^2-b^2)= (a+b)(a-b)[/math]
e in questo caso hai:
[math]4-x^2 = 2^2 -x^2 = (2-x)(2+x)[/math]


Dalla scomposizione che si ha alla fine, è richiesto di trovare il valore di k per cui nella scomposizione compaia il quadrato di binomio. Ti ricordo che il quadrato di binomio è così definito:
[math](a+b)^2 [/math]
oppure
[math](a-b)^2[/math]

Affinché compaia un quadrato di binomio nella scomposizione
[math](k-x)(2−x)(2+x)[/math]
devi porre k uguale ad un valore tale per cui ti compaia un termine della forma di un quadrato di binomio. Nella prima risposta che ti ho dato ho scelto k=2; così facendo hai
[math](2-x)(2-x)(2+x) = (2-x)^2(2+x)[/math]
e come vedi
[math](2-x)^2[/math]
è un quadrato di binomio.
Se vuoi puoi anche scegliere k = -2. Sostituendo a k quel valore otterrai
[math](-2-x)(2-x)(2+x) = -(2+x)(2-x)(2+x) = - (2-x)(2+x)^2[/math]
e anche in questo caso hai un quadrato di binomio nella scomposizione:
[math](2+x)^2[/math]
.
lala5096
lala5096 - Erectus - 67 Punti
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uffa non riesco a capire

Aggiunto 1 secondo più tardi:

uffa non riesco a capire

Aggiunto 2 secondi più tardi:

uffa non riesco a capire
enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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Però dovresti specificare cosa non riesci a capire. Quali passaggi non ti sono chiari?
Christian Adinolfi
Christian Adinolfi - Habilis - 236 Punti
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Ciao lala5096, ecco a te:

[math]x^{3}-kx^{2}-4x+4k\\
x^{3}-kx^{2}=x^{2}(x-k)\\
-(4x-4k)=4(x-k)\\
x^{2}(x-k)-4(x-k)\\
(x^{2}-2^{2})(x-k)\\
((x+2)(x-2))(x-k)\\
(x+2)(x-2)(x-k)[/math]

Spero di esserti stato d'aiuto :)
lala5096
lala5096 - Erectus - 67 Punti
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non riesco a capire
FranceVige
FranceVige - Erectus - 67 Punti
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Questo è l'esercizio:
[math]x^{3}-kx^{2}-4x+4k\\[/math]

Dividi le due parti
[math]x^{3}-kx^{2}[/math]
e
[math]-4x+4k[/math]
:
tu sai che:
[math]\\x^{3}-kx^{2}=x^{2}(x-k)\\[/math]

e, aggiungendo un meno davanti:
[math]-(4x-4k)=-4(x-k)\\[/math]

sostituisci le due parti con quello che hai trovato:
[math]x^{2}(x-k)-4(x-k)\\[/math]

raccogli
[math](x-k)[/math]
e hai:
[math]\\(x^{2}-2^{2})(x-k)\\[/math]

ricordandoti che
[math]x^{2}-2^{2}[/math]
è un prodotto notevole, hai che:
[math]\\((x+2)(x-2))(x-k) \\[/math]

e ottineni come risultato finale questo:
[math]\\(x+2)(x-2)(x-k)[/math]

Il quadrato di binomio
[math](a\pm b)^2[/math]
lo ottieni se poni
[math]k=2[/math]
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