Flappy.6
Flappy.6 - Ominide - 2 Punti
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Tra tutte le parabole del fascio di equazione : y= (m-2)x^2-2(m-1)x-4(m-2) determinare quella che interseca l'asse x in due punti A e B , in modo che il triangolo ABC, essendo C il punto (0;1), sia di area minima.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Per prima cosa, determiniamo le coordinate dei due punti: dobbiamo risolvere l'equazione

[math](m-2)x^2-2(m-1)x-4(m-2)=0[/math]

Poiché si ha

[math]\Delta=4(m-1)^2+16(m-2)^2=4[(m-1)^2+4(m-2)^2]> 0[/math]

ci sono sempre due soluzioni distinte e si ha

[math]x_{1,2}=\frac{2(m-1)\pm 2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}}{2}=m-1\pm\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

da cui i punti

[math]A(m-1-\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2},0),\quad B(m-1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2},0)[/math]

Osserva ora che il triangolo
[math]ABC[/math]
ha per base
[math]AB[/math]
e per altezza la coordinata
[math]y_C=1[/math]
di
[math]C[/math]
. Essendo poi
[math]AB=|m-1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}-m+1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}|=2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

si ricava per l'area la relazione dipendente da
[math]m[/math]

[math]S(m)=\frac{bh}{2}=\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

La derivata di questa funzione risulta

[math]S'(m)=\frac{2(m-1)+8(m-2)}{2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}}[/math]

e poiché si ha
[math]S'(m)=0[/math]
se e solo se
[math]m-1+4m-8=0\ \Rightarrow\ m=9/5[/math]
, per tale scelta del parametro si ha l'area minima.
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