patty18
patty18 - Ominide - 25 Punti
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allora ti posto un due es che nn combino a fare...
Allora in questo dice di calcolare i seguenti limiti: quindi basta sostituire la x ma nn riesco a svolgere dopo
1)lim x->3 (2^x - xlog in base 3 di x)

poi sapresti darmi una definizione di forma indeterminata? e una definizione intuitiva di limite?

per definizione matematica di limite ho che l è il limite della funzione per x che tende a x0.

poi mi chiedevo...quando c'è scritto lim x->2+ cosa vuol dire? cioè devo fare qualcosa in più quando ho trovato la soluzione o cosa?


Grazie per l'aiuto cme eh!!! :gratta
BIT5
BIT5 - Mito - 28472 Punti
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[math] \lim_{x \to 3} 2^x- x \log_3 x = 2^3-3 \log_33=8-3(1)=5 [/math]

Questo significa che la funzione quando x tende a tre (ovvero nei valori che si avvicinano in maniera infinitesima a 3) essa tende a 5 (ovvero si avvicina moltissimo a 5 e dunque, banalmente, per x-->3 , f(x)-->5 (ovvero y-->5)

In questo caso e' semplice, perche' 3 e' un valore che appartiene al dominio della funzione (ovvero x=3 e' un valore del dominio quindi la funzione esiste in x=3) e pertanto il limite della funzione per x-->3 tende a 5 (infatti per x=3 f(x)=5 )

2) Si hanno delle forme indeterminate quando il calcolo del limite ci porta ad avere delle forme che non hanno risoluzione immediata.

Ad esempio, supponi di risolvere un limite e trovarti come risultato

[math] + \infty + \infty [/math]

Se a + infinito aggiungi + infinito, avrai + infinito (ragionandola in termini spicci, se a un numero molto grande aggiungi un numero molto grande, ottieni un numero molto grande)

Le forme indeterminate sono:

[math] + \infty - \infty [/math]
. Audacemente verrebbe da dire che se a un numero molto grande tolgo lo stesso numero, ottengo zero.
Ma attenzione, perche' non e' cosi'. Infatti infinito e' un valore molto grande di cui non conosciamo le dimensioni. I due infiniti sono dunque due numeri grandissimi, ma non sappiamo assolutamente se sono due numeri "grandi uguali".

Ti faccio un esempio....

[math] \lim_{x \to + \infty} \log x - x [/math]

Il limite e' distributivo rispetto alla somma, quindi lo risolviamo scrivendo:
[math] \lim_{x \to + \infty} \log x - \lim_{x \to + \infty} x [/math]

e otteniamo
[math] + \infty - \infty [/math]

Disegna ora le funzioni per vedere graficamente quello che dobbiamo calcolare

y=x e' la bisettrice del primo/terzo quadrante
y=log x è la funzione logaritmica.

se tu guardi il comportamento a + infinito ti accorgi che la funzione logaritmo cresce molto piu' in fretta della retta, e pertanto puoi intuire che all'infinito se togli dal valore che il logaritmo assume il valore che la retta assume, non ottieni zero, ma la distanza tra le due curve.

In sintesi + infinito - infinito e' una forma indeterminata..

Altre forme indeterminate sono:

[math] \frac{ \infty}{\infty} [/math]

Anche qui verrebbe da "semplificare" ottenendo uno..
Ma se l'infinito al denominatore e' un infinito molto piu' piccolo del denominatore?

Altra forma e'

[math] 0^0 [/math]

Tutti i numeri elevati alla zero danno 1... ma se la base e' 0 sappiamo che zero, elevato a qualunque valore, da' 0.. e quindi? Forma indeterminata

poi abbiamo

[math] 0 \cdot \infty [/math]
,
[math] \frac{0}{0} [/math]
,
[math] \infty^0[/math]

Per risolvere questi limiti si utilizzano espedienti che eliminano le forme di indeterminazione (quando esistono) tra cui i limiti notevoli.

La definizione di limite "intuitiva" e' semplicemente dire che quando una funzione tende a un valore (finito o infinito) per x che tende ad un valore (finito o infinito) significa che la funzione "intorno" a quel valore sappiamo che si avvicinera' al valore trovato

Ovviamente, ad esempio..

[math] \lim_{x \to 0} x = 0 [/math]

vuol dire che la funzione "nell'intorno di zero" assume valori che si avvicinano a zero.

E' facile, e' una retta, in x=0 f(x) = 0...

Invece ad esempio

[math] \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} [/math]

Il dominio e'
[math] x \ne 0 [/math]

Nell'intorno di zero (in zero la funzione non esiste!) avremo
[math] \lim_{x \to 0} \frac{\no{x^3}^2}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 [/math]

Piu' ci avviciniamo a x=0 piu' la funzione si avvicina a zero (ma per x=0 la funzione non esiste)

Ultima domanda:

Quando scrivi lim x-->2+ significa che il limite tende a 2 da destra (ovvero a un numero infinitesimamente vicino a 2 a destra (quindi leggermente piu' grande di 2) ma mai uguale a 2.

(cioe' banalmente 2,000000....................01 )

Trovi questo quando il punto in questione, si dice, non e' punto di accumulazione.
(ovvero sempre banalizzando quando il limite destro non e' uguale al limite di sinistra)

Nell'esempio sopra

[math] f(x)= \frac{x^3}{x} [/math]
abbiamo visto che, una volta escluso x=0 dal dominio, possiamo semplificare ottenendo la parabola banale y=x^2.
Supponi di avere invece la funzione
[math] f(x)= \frac{1}{x} [/math]

Il punto x=0 non e' punto di accumulazione.

Infatti

[math] \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} [/math]

Che succede se dividi un numero finito (1) per un numero infinitamente piccolo (e positivo)?. Ottieni un valore grandissimo. e siccome hai un numero positivo al numeratore e un numero positivo (piccolissimo ma pur sempre positivo) al denominatore, avrai dunque un valore grandissimo e positivo

E dunque

[math] \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = + \infty [/math]

Analogamente
[math] \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^-} [/math]

Dividiamo 1 per un numero piccolissimo (ottenendo un numero grandissimo) ma questa volta negativo (0- e' un numero vicinissimo a zero da sinistra ovvero un numero negativo quasi zero) quindi abbiamo la divisione tra una quantita' positiva (1) e un denominatore negativo

e dunque

[math] \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = - \infty [/math]

E' stato necessario "spezzare" il limite dal momento che il limite per x-->0 non esiste (visto che a destra e a sinistra di zero la funzione tende a due valori completamente differenti)

Un'ultima considerazione....

Se avessimo

[math] \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x} [/math]
andremmo a sostituire
[math] \frac{2}{2^+} = 1^- [/math]
ovvero 1.
Se dividiamo 2 per un numero leggermente piu' grande di 2 otteniamo un numero leggermente piu' piccolo di 1
[math] \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x} = \frac{2}{2^-} = 1^+=1 [/math]

Anche qui analogo discorso.. Ma non ci sono considerazioni sui segni della frazione, perche' ovviamente 2- e 2+ sono ENTRAMBI numeri positivi!
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