frank271986
frank271986 - Erectus - 65 Punti
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qualcuno puo aiutarmi con matematica, i limiti: limite infinitmatematicao di x tende a 1+, x-3/x-1<-M , risultato: x<1+2/M+1 come ci si arriva? grazie

Aggiunto 1 minuto più tardi:

limite infinito per x tendente a 1+, limite destro.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Prendiamo ora la funzione
[math]y=\frac{x-3}{x-1}[/math]
,
e sciviamola così:
[math]y=(x-3)\frac{1}{x-1}[/math]
.
Quando andiamo a fare il limite della funzione per x che tende a "1" da destra il primo pezzo (x - 3) non ci crea difficoltà perché tende a -2.
I problemi nascono col secondo pezzo
[math]\frac{1}{x-1}[/math]
perché questo tende a
[math]\frac{1}{0^+}[/math]
intendendo che al denominatore abbiamo un numero piccolissimo ma positivo:
1,00000001 - 1 = +0,00000001.
Ora, se diamo per scontato che
[math]\frac{1}{0^+}[/math]
=
[math]+\infty[/math]
,
il nostro limite è calcolato:
limite =
[math](-2)*(+\infty)=-\infty[/math]
(regola dei segni)
Se invece dobbiamo dimostra che
[math]\lim_{x \to \ 1^+} \frac{1}{x-1}=+\infty[/math]
,
allora dobbiamo partire dalla definizione di limite.
Se una funzione in un certo punto
[math]x_0[/math]
tende a
[math]+\infty[/math]
vuol dire che più mi avvicino a
[math]x_0[/math]
più la funzione cresce, cioè:
per ogni valore "A" grande a piacere, avvicinandomi sempre di più a
[math]x_0[/math]
il valore della funzione supera quella "soglia".
Esempio:
A = 100
[math]\frac{1}{1-1,001}=\frac{1}{0,001}=1000[/math]
;
.
A = 1000
[math]\frac{1}{1-1,0001}=\frac{1}{0,0001}=10.000[/math]
.
In termini matematici ciò si traduce così:
Per ogni valore A (grande a piacere) è possibile determinare un valore "
[math]\epsilon[/math]
" tale che
se x è compreso tra
[math]x_0[/math]
e
[math]x_0+\epsilon[/math]
,(cioè vicinissimo),
allora f(x) > A.
Quindi:
.
[math]\frac{1}{x-1}>A[/math]
,
.
[math]x-1<\frac{1}{A}[/math]
,
.
[math]x<1+\frac{1}{A}[/math]
,
.
[math]\epsilon<\frac{1}{A}[/math]
.
.
Siccome, fissato A è sempre possibile calcolare
[math]\frac{1}{A}[/math]
, abbiamo dimostrato che questo limite è
[math]+\infty[/math]
.
Ma mamma mia che sudata! Non è facile conciliare la chiarezza con la sinteticità. Spero di esserci riuscito. Se non fosse chiaro NON sei tu che non capisci ma sono io che mi sono spiegato male. Fammi sapere.
Carlo

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Grafico
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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PREMESSA
Quando si studia una funzione
y = f(x)
la PRIMA cosa da controllare SEMPRE e OBBLIGATORIAMENTE è il CAMPO di ESISTENZA, cioè trovare SE e DOVE la funzione NON ESISTE.
I casi più importanti (e frequenti) sono quelli in cui nella funzione compaiono FRAZIONI e/o RADICI PARI (quadrata, quarta, sesta ecc.) che contengono l'incognita "x".
Per le RADICI PARI bisogna controllare SE e DOVE (cioè per quali valori della "x";) l'argomento della radice è MAGGIORE O UGUALE A ZERO.
Per le FRAZIONI bisogna controllare SE e DOVE il DENOMINATORE è UGUALE a ZERO perché
[math]\frac{qualsiasi cosa}{0}[/math]
NON ESISTE. Quindi non esistendo la funzione in quei punti cerchiamo di capire come si comporta la funzione nelle immediate vicinanze e per questo motivo si esamina i limiti (destro e sinistro) per capire se la funzione si limita a "saltare" il punto critico oppure se va a più o meno infinito.
Tra poco entriamo nel dettaglio del tuo quesito
----------> CONTINUA
frank271986
frank271986 - Erectus - 65 Punti
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grazie mille per la delucidazione e della risposta. :) aspetto con ansia la risposta al mio quesito perche mi sta facendo impazzire :) credo cmq che il problema sia dovuto a qualche lacuna con le disequazioni fratte. provvedero! grazie ancora
frank271986
frank271986 - Erectus - 65 Punti
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grazie mille sei stato molto chiaro e utile. i concetti gli ho appresi dalla teoria era solo metterli in pratica che mi creava un po di difficolta. mi hai svelato qualche passaggio che mi mancava grazie. dovevo verificare il limite con la definizione della f(x)=x-3/x-1<-M e ci sono riuscito grazie!! :D

Aggiunto 18 minuti più tardi:

se invece dovessi lavorare su tutta la funzione (x-3)1/x-1<-M??
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Beh, il discorso è lungo.....
Comunque:
A) prima cosa da fare SEMPRE e PER PRIMA è il Campo di Esistenza (CdE o CE) come ti ho detto nella PREMESSA.
In questo caso avendo la "x" al denominatore devi porre
[math]x-1\neq0[/math]
,
[math]x\neq+1[/math]
.
Quindi la funzione esiste sempre TRANNE che nel punto x=1 per cui sul grafico tracci una riga verticale in corrispondenza di x=1 come quella nella foto, ad indicare che la funzione NON attraversa quella linea.
Ora tutti gli altri passaggi li puoi nell'ordine che preferisci perché sono tutti tasselli che andranno a comporre e definire il grafico finale.
B) segno della funzione ---> f(x) > 0 (e f(x) < 0)
C) crescenza e decrescenza (segno della derivata prima)
d) Massimi, minimi e flessi orizzontali (derivata prima =0)
E) Limiti per x che tende a più (e meno) infinito
F) limiti per x che tende a "+1" da destra e da sinistra
G) concavità e convessità (segno della derivata seconda)
H) flessi obliqui (derivata seconda =0)
I) punti di incontro con gli assi (questo lo puoi fare subito)
----------- continua

Aggiunto 1 secondo più tardi:

Beh, il discorso è lungo.....
Comunque:
A) prima cosa da fare SEMPRE e PER PRIMA è il Campo di Esistenza (CdE o CE) come ti ho detto nella PREMESSA.
In questo caso avendo la "x" al denominatore devi porre
[math]x-1\neq0[/math]
,
[math]x\neq+1[/math]
.
Quindi la funzione esiste sempre TRANNE che nel punto x=1 per cui sul grafico tracci una riga verticale in corrispondenza di x=1 come quella nella foto, ad indicare che la funzione NON attraversa quella linea.
Ora tutti gli altri passaggi li puoi nell'ordine che preferisci perché sono tutti tasselli che andranno a comporre e definire il grafico finale.
B) segno della funzione ---> f(x) > 0 (e f(x) < 0)
C) crescenza e decrescenza (segno della derivata prima)
d) Massimi, minimi e flessi orizzontali (derivata prima =0)
E) Limiti per x che tende a più (e meno) infinito
F) limiti per x che tende a "+1" da destra e da sinistra
G) concavità e convessità (segno della derivata seconda)
H) flessi obliqui (derivata seconda =0)
I) punti di incontro con gli assi (questo lo puoi fare subito)
----------- continua
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