ais
ais - Erectus - 97 Punti
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Buonasera a tutti,
volevo chiedere chiarimenti riguardo al concetto di trasformazione inversa in geometria analitica. Come ricavare le equazioni di una trasformazione inversa da un sistema di equazioni?

es.

t ^-1 di x'=3x - 2y
. y'=-4x +3y

Grazie in anticipo!
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Una trasformazione geometrica
[math]t[/math]
tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca
che ad ogni punto
[math]P[/math]
del piano associa uno e un solo punto
[math]P'[/math]
appartenente al piano
stesso e viceversa. La trasformazione inversa, che esiste sempre poiché
[math]t[/math]
è biunivoca,
viene indicata con
[math]t^{-1}[/math]
e si scrive:
[math]P = t^{-1}(P')[/math]
. Per calcolare le equazioni dell'in-
versa si possono utilizzare due metodi: quello di sostituzione (generale), quello di Cramer
(consigliabile per equazioni lineari).

Esempio: calcolare l'inversa della trasformazione
[math]t : \begin{cases} x' = x - y \\ y' = 2x + y + 1 \end{cases}\\[/math]
.
1. Metodo di sostituzione:

1.1 ricaviamo un'incognita (la più conveniente da una delle
due equazioni: ad esempio
[math]x[/math]
dalla prima equazione):
[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2x + y + 1 \end{cases}\\[/math]
;
1.2 sostituiamo l'espressione di
[math]x[/math]
nella seconda equazione:
[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2(x' + y) + y + 1 \end{cases} \; \Rightarrow \; \begin{cases} x = x' + y \\ y' = 2x' + 3y + 1 \end{cases} \\[/math]
;
1.3 ricaviamo
[math]y[/math]
dalla seconda equazione:
[math]\begin{cases} x = x' + y \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases}\\[/math]
;
1.4 sostituiamo
[math]y[/math]
nella prima equazione per avere
[math]x[/math]
in funzione delle sole coordinate "nuove":
[math]\begin{cases} x = x' + \frac{-2x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \; \Rightarrow \; t^{-1} : \begin{cases} x = \frac{x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \\[/math]
.

2. Metodo di Cramer:

2.1 scriviamo il sistema in forma normale, tenendo
presente che le "incognite" da ricavare sono
[math]x[/math]
e
[math]y[/math]
:
[math]\begin{cases} x - y = x' \\ 2x + y = y'-1 \end{cases}\\[/math]
;
2.2 calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
[math]D := \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 3\\[/math]
;
2.3 calcoliamo i determinanti di quest'altre matrici:
[math]D_x := \det\begin{pmatrix} x' & -1 \\ y'-1 & 1 \end{pmatrix} = x'+y'-1\\[/math]
;
[math]D_y := \det\begin{pmatrix} 1 & x' \\ 2 & y'-1 \end{pmatrix} = y'-1-2x'\\[/math]
;
2.4 applichiamo la formula di Cramer:
[math]\begin{cases} x = \frac{D_x}{D} \\ y = \frac{D_y}{D} \end{cases} \; \Rightarrow \; t^{-1} : \begin{cases} x = \frac{x'+y'-1}{3} \\ y = \frac{-2x'+y'-1}{3} \end{cases} \\[/math]
.

A te scegliere quello che ti piace di più e applicarlo al tuo caso. ;)
ais
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Grazie mille!
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