Music_lover!
Music_lover! - Sapiens - 651 Punti
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Ciao a tutti,
Siccome giovedì ho la (prova)della seconda prova mi servirebbe un aiuto per svolgere questi integrali:

[math]\int\frac{x}{\sqrt{a^4-x^4}}\ dx=\frac{1}{2} \arcsin \frac{x^2}{a^2}+c[/math]
[math]\int x\sqrt[3]{2-x}\ dx=\frac{6x-9}{14}(2-x)\sqrt[3]{2-x}+c[/math]

Aggiunto 2 ore 33 minuti più tardi:

Grazie mille!!! Ora è molto più chiaro ;)

ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Per il primo usa la sostituzione

[math]x^2=a^2 \sin t[/math]

da cui
[math]\sqrt{a^4-x^4}=\sqrt{a^4(1-\sin^2 t)}=a^2\cos t[/math]
e
[math]2x\ dx=a^2\cos t\ dt[/math]

e quindi l'integrale diventa

[math]\int\frac{1}{a^2\cos t}\cdot\frac{1}{2} a^2\cos t\ dt=\frac{1}{2}\int dt=\frac{t}{2}+c[/math]

Con la sostituzione inversa
[math]t=\arcsina(x^2/a^2)[/math]
trovi il risultato richiesto.
Nel secondo invece puoi porre
[math]2-x=t^3[/math]
, da cui
[math]x=2-t^3[/math]
,
[math]dx=-3t^2\ dt[/math]
e quindi
[math]\int (2-t^3)\cdot t\cdot (-3t^2)\ dt=3\int(t^6-2t^3)\ dt=3\left(\frac{t^7}{7}-\frac{t^4}{2}\right)+c=\\
\frac{3t^4}{14}(2t^3-1)+c=\frac{3\sqrt[3]{(2-x)^4}}{14}(4-2x-1)+c=\frac{3}{14}(2-x)\sqrt[3]{2-x}\cdot(3-2x)+c[/math]

che è il risultato cercato.
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