AlexTracer
AlexTracer - Sapiens Sapiens - 1108 Punti
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i primi integrali da risolvere col metodo "per parti" e per qualche ragione manco il risultato del libro per qualche segno o coefficiente... nonostante non riesca a trovare gli errori. beh, non vi chiedo sicuramente di risolvermi gli esercizi, ma se i pezzi grossi hanno qualche suggerimento... ve ne sarei veramente grato :D

siccome non ricordo come si usa la simbolistica in questo forum.. mi arrangio <3

Considerate "S" come simbolo di integrale xD userò le parentesi per essere più chiaro, e metterò i risultati del libro accanto al testo
S(ln2x)dx = x(ln2x-1)+c
ho scelto come fx=ln2x e come g'x=1... sono dunque giunto alla formula xln2x-2S(dx)... sembra essere sbagliato :(

idem per:
S(ln(1+x))dx = (1+x)ln(1+x)-x+c
S(xlnx)dx = 1/2(x)^2(2lnx-1)+c
3S(ln(3x+2))dx = (3x+2)ln(3x+2)-3x+c (deja vu xD)
S(xe^(-2x))dx = -1/4(e^(-2x))(2x+1)+c
S((cosx)^2)dx = troppo complesso... non ce la faccio più a scrivere XD

mi dispiace, ma tra la fretta e l'ignoranza non ho trovato alcuna guida per i simboli...

grazie comunque per qualsiasi tipo di aiuto! buona serata ^^
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Nel primo integrale, quando calcoli la derivata di ln(2x) ti perdi un due a denominatore:

[math]\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)=\frac{1}{2x}2=\frac{1}{x}[/math]

Per cui nel calcolo dell'integrale la funzione integranda rimane 1, che integrata da` x

Nel secondo ti conviene scegliere f(x)=(1+x) ed il risultato e` immediato.

Nel terzo il risultato e` sbagliato, dovrebbe essere:

[math]\int x\ln x\,dx=\int\ln x\,d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C[/math]

In quello successivo scegli f(x)=3x+2

In quello dopo:

[math]\int xe^{-2x}d x=\int x d\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)=\dots[/math]

Ultimo: in genere si calcola usando le formule di duplicazione di trigonometria:
[math]\int\cos^2xdx=\int\frac{1+\cos 2x}{2}dx=
\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x dx=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x[/math]

E` possibile calcolarlo anche per parti (ma richiede un piccolo numero di calcolo acrobatico)

[math]\int\cos^2xdx=\int\cos x d(\sin x)=\sin x \cos x+\int \sin^2 xdx=[/math]
[math]
=\sin x \cos x+\int (1-\cos^2 x)dx=\frac{1}{2}\sin 2x +x -\int\cos^2xdx[/math]

cioe`

[math]\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x +x -\int\cos^2xdx[/math]

Porti a primo membro l'ultimo integrale

[math]2\int\cos^2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x +x [/math]

e dividi tutto per 2.
AlexTracer
AlexTracer - Sapiens Sapiens - 1108 Punti
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Grazie infinite, il trucchetto del coseno mi sarà utile in diversi esercizi, e devo ammettere che deve esserci voluta molta pazienza per leggere la mia simbolistica fatta in casa xD
tuttavia non capisco come fai a prendere come f(x), se intregriamo un logaritmo, solamente il suo argomento. come "integrale di: ln(1+x)dx", e li separi come.fossero due fattori. Sicuramente era la difficoltà di leggere la mia scrittura, ne sono certo, oppure mi sfugge qualcosa, anche questo probabilissimo xD
grazie ancora
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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sfrutti il fatto che d(1+x)=dx ... tutto li`!

Aggiunto 16 ore 48 minuti più tardi:

Ieri ero di fretta e non ho potuto spiegare bene.

Per il secondo integrale il modo piu` rapido e` usare f(x)=(1+x):

[math]\int \ln(1+x) dx=\int \ln(1+x) d(x+1)=[/math]
[math]=(x+1)\ln(x+1)-\int(x+1)\frac{1}{x+1}dx=(x+1)\ln(x+1)-x+C[/math]

Ma se non ti piace puoi usare f(x)=x:

[math]\int \ln(1+x) dx=x\ln(x+1)-\int\frac{x}{x+1}dx=[/math]
[math]=x\ln(x+1)-\int\frac{x+1-1}{x+1}dx=x\ln(x+1)-\int dx+\int\frac{1}{x+1}dx=[/math]
[math]=x\ln(x+1)-x+\ln(x+1)+C=(x+1)\ln(x+1)-x+C[/math]

Come vedi il risultato e` giusto, ma i calcoli sono piu` lunghi
AlexTracer
AlexTracer - Sapiens Sapiens - 1108 Punti
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grazie mille :D molto disponibile
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