Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 880 Punti
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Esercizio:
[math]\int x \sqrt{x^{2}-9}\ dx[/math]

Risultato:
[math]\frac{1}{3}\sqrt{(x^{2}-9)^{3}}+c[/math]

Non riesco a capire da dove spunti l' 1/3, potreste farmi vedere i passaggi in modo che possa capire?
Grazie!
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Allora ti capisco, se non l'hai mai vista è del tutto normale. Provo a
spiegarti un po' come funziona la cosa facendo riferimento a questo
caso specifico cercando di non crearti ulteriore confusione.

Cominciamo con l'approccio "praticone" che non piace molto ai professori
ma che risulta efficace. La formuletta di riferimento è quella di cui sopra:
[math]\int f'(x)\,(f(x))^a\,dx = \frac{(f(x))^{a+1}}{a+1} + c\\[/math]
.
In questo caso si nota che se
[math]f(x) = x^2 - 9[/math]
allora deve
essere
[math]f'(x) = 2x[/math]
. Purtroppo noi "abbiamo" solo
[math]x[/math]
.
Poco male, in quanto non è difficile convincersi del fatto che
[math]\int x\,\sqrt{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{2}\int 2x\,\sqrt{x^2 - 9}\,dx\\[/math]
.
Bene, ora siamo nelle condizioni di applicare la formuletta:
[math]\frac{1}{2}\int (2x)\,\left(x^2 - 9\right)^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{1}{2}\left[ \frac{\left(x^2 - 9\right)^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right] + c[/math]
,
in definitiva:
[math]\int x\,\sqrt{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{3}\sqrt{\left(x^2 - 9\right)^3} + c\\[/math]
.
Metodo più rigoroso è quello di fare riferimento alla tecnica di integrazione
tramite sostituzione
. In sostanza l'intuizione è la stessa avuta prima: si fiuta
una funzione e la propria derivata. Per tale motivo si decide di sostituire
l'intera quantità posta sotto radice perché molto scomoda da integrare in
quella forma. Quindi si pone
[math]t = x^2 - 9\\[/math]
.
A questo punto c'è il passaggio chiave, occorre differenziare. In soldoni
a sinistra occorre derivare rispetto a
[math]t[/math]
e moltiplicare per il differenziale
[math]dt[/math]
,
a destra derivare rispetto ad
[math]x[/math]
e moltiplicare per il differenziale
[math]dx[/math]
,
ottenendo quindi
[math]dt = 2x\,dx[/math]
. Il difficile è praticamente superato: se
abbiamo azzeccato la sostituzione idonea i conti si semplificheranno
notevolmente!!!

In questo caso:
[math]\int \sqrt{x^2 - 9}\,x\,dx = \int t^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + c = \frac{1}{3}\sqrt{\left(x^2 - 9\right)^3} + c\\[/math]
.
Magari riprova a vedere il tutto domani con mente fresca e poi fammi sapere
cosa ne pensi. Purtroppo in questo caso non vedo vie più semplici. :)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Purtroppo questo integrale non si presta bene all'integrazione per parti,
bensì lo si può attaccare molto comodamente tramite una sostituzione
del tipo
[math] t = x^2 - 9[/math]
. Infatti, così facendo,
[math]dt = 2x\,dx\\[/math]
e quindi:
[math]\int x\,\sqrt{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{2}\int\sqrt{x^2 - 9}\,(2x\,dx) = \frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}\,dt = \dots\\[/math]

A te concludere. ;)
Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 880 Punti
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Ok, questa sostituzione mi ha particolarmente confuso..ma questo è l'unico metodo?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ti dirò, a differenza del calcolo delle derivate in cui essenzialmente la strada da seguire è a senso unico ed è ben chiara, per il calcolo degli integrali generalmente si possono percorrere un sacco di strade e purtroppo non si ha alcuna certezza che non si tratti di vicoli ciechi.

Naturalmente tali considerazioni sono di carattere generale, nel senso che gli integrali che incontrerete nelle mura scolastiche sono assegnati in maniera mirata, non a casaccio e
quindi si presuppone che abbiate tutti gli strumenti per calcolarli senza diventare matti.

In questo caso, essendoci un bel prodotto può benissimo passare per la testa l'integrazione per parti ma non è difficile convincersi del fatto che non porta da alcuna parte, meglio complica le cose. Quindi ci si ferma un attimo e si cercano altre strade tra cui, in questo caso, quella vincente risulta essere appunto quella semplice sostituzione.

Ora, io non riesco a capire cosa ti turbi. In classe l'insegnante le ha spiegate in maniera differente? Può essere e in tal caso mostra pure come avresti fatto che così possiamo capire assieme cosa ci sia che non va. Bada bene che, in maniera del tutto analoga, quell'integrale lo si calcola ricordando che per
[math]a \ne -1[/math]
si ha
[math]\int f'(x)\,(f(x))^a\,dx = \frac{(f(x))^{a+1}}{a+1} + c\\[/math]
.
A te la parola. ;)
Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 880 Punti
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In realtà non abbiamo mai usato la sostituzione negli integrali (a meno che non li abbiano fatti quando sono mancata ma non credo), in genere erano o integrali diretti o integrali per parti, per questo ero confusa..
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