oromiscanneto
oromiscanneto - Erectus - 103 Punti
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Consideriamo A={x/x=(n^2+5):2,n€N}.
Possiamo verificare che l'insieme è illimitato superiormente: considerando una K€R+, deve esistere almeno una x>k. Svolgendo i calcoli, effettivamente si ha x>k quando n>radice di(k-5/2).
Però questo ci costringe a porre k maggiore o uguale a 5/2: com'è possibile? Sembra una contraddizione, perché se in A ci sono x maggiori di qualunque k poiché è un insieme illimitato, queste x sono sicuramente maggiori anche dei valori di k che escludiamo. Se infatti consideriamo k=2 ad esempio sappiamo che ci sono tanti valori di x maggiori di k.
Come giustifichiamo questa esclusione dovuta ai calcoli?
ciampax
ciampax - Tutor - 29254 Punti
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Sbagli ad applicare la definizione: un insieme è illimitato superiormente se per ogni
[math]k>0[/math]
si abbia che esistano sempre elementi di tale insieme per cui
[math]x>k[/math]
.
Preso un
[math]k>0[/math]
qualsiasi, allora devi verificare quando si abbia
[math]\frac{n^2+5}{2}>k[/math]
: tale situazione, visto che
[math]n[/math]
è naturale, si verifica ogni volta che
[math]n>\sqrt{2k-5}[/math]
. Ora, questa cosa ti dice che per qualunque
[math]k[/math]
per cui la radice è definita,basta prendere n maggiore di quella quantità e sicuramente troverai valori maggiori del k fissato.
Quello su cui trovi problemi è un fatto che si risolve semplicemente osservando che in generale, tutti i valori del tuo insieme saranno maggiori o uguali a 5/2 (valore che ottieni per n=0) e quindi, scegliere un k positivo ma inferiore a 5/2 implicherebbe che tutti i valori del tuo insieme superino questo k, cosa che comunque non contraddice la definizione scritta sopra.

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