insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto riguardo questo esercizio.

Si studino l'insieme di definizione e il segno delle funzioni definita da:

[math]A:\, \, \, \, f(x)=arccos\left ( \left | \frac{logx+2}{logx-1} \right | -1\right )\cdot \left ( 4^{\sqrt{x^{2}-x}-2x}-1 \right )[/math]



[math]B:\, \, \, \, f(x)=arccos\left ( \left | \frac{logx+3}{logx+2} \right | -1\right )\cdot \left ( 3^{\sqrt{x^{2}-x}-x}-1 \right )[/math]




spero che mi possiate aiutare...
non saprei come iniziare..
se mi potete dare un'aiuto..
grazie..
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Le prime cose che si devono controllare sono:
1) frazioni,
2) radici pari (quadrata, quarta, sesta ecc.)
Caso (1)
una frazione con ZERO al denominatore NON HA SENSO, quindi devi porre i denominatori DIVERSI da ZERO
Caso (2) nel campo dei numeri Reali NON ESISTE la radice PARI di un numero NEGATIVO, quindi devi porre
argomenti di radice MAGGIORI o UGUALI a ZERO.
Poi, siccome sia il seno che il coseno variano da -1 a +1, devi porre gli argomenti di arccos COMPRESI tra -1 e +1.
Esempio:
y = arccos(A)
-1
[math]\leq[/math]
A
[math]\geq[/math]
+1 .
che si risolve col sistema:
A
[math]\geq[/math]
-1
A
[math]\leq[/math]
+1
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora per la funzione A, abbiamo che deve essere:

1)
[math]log\, x-1\neq 0\, \rightarrow log\, x\neq 1[/math]
;
2)
[math]x^{2}-x\geq 0\, \rightarrow x\leq 0\, \vee \, x\geq 1[/math]

3)
[math]-1\leq \left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |-1\leq 1[/math]

è giusto...
ora come risolvo la prima e la terza...
fatemi sapere..
grazie...
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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3) risposta 3
Prendiamo una delle due disequazioni
[math]\left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |-1\geq 1[/math]

che diventa:
[math]\left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |\geq 2[/math]
.
Trascurando il valore assoluto che va considerato a parte abbiamo:
[math]log(x+2) \ geq \ 2{logx(-1)[/math]

Aggiunto 14 minuti più tardi:

scusa ho sbagliato a cliccare invio.
Dicevo, trascurando il valore assoluto abbiamo:
log(x + 2 )
[math]\geq[/math]
2log(x - 1).
Per le proprietà dei logaritmi (che derivano dalle proprietà delle potenze):
log(x + 2)
[math]\geq log(x - 1)^2[/math]
quindi:
.
(x + 2)
[math]\geq (x - 1)^2[/math]
.

perchè:
.
logA>logB <=> A>B
.
Anche qui fammi sapere se sono stato sufficientemente chiaro
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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1) la prima è facile.
La funzione logaritmo fornisce l'esponente da dare alla "base" per trovare l'"argomento".
Per esempio:
[math]\log_{10}10[/math]
= 1
[math]\log_{10}100[/math]
= 2
[math]\log_{10}1000[/math]
= 3
[math]\log_{10}10000[/math]
= 4
perché:
[math]10^1[/math]
= 10
[math]10^2[/math]
= 100
[math]10^3[/math]
= 1000
[math]10^4[/math]
= 10000
ricorda che solitamente
il logaritmo in base 10 si scrive Log (cioè con la "elle" maiuscola e senza indicare la base 10
e
il logaritmo in base "e" si indica con ln (logaritmo naturale).
Ora, il caso più semplice e che vale pre tutti i logaritmi deriva dal fatto che:
QUALUNQUE NUMERO ELEVATO ALLA ZERO FA SEMPRE " 1 ".
Quindi:
logx = 1
si traduce in:
[math]a^0[/math]
= 1
qualunque sia la base "a", quindi:
x = 0

Aggiunto 30 minuti più tardi:

3) Risposta 2
Qui la risposta è non difficile in sé ma lunga e articolata perché bisogna considerare tutte le possibilità derivanti dal valore assoluto.
Prima cosa devi trasformare la doppia disuguaglianza in un sistema.
4 < A < 5
diventa:
A > 4
A < 5
.
Poi devi considerare che
[math]|\ A\ |\ >\ 4\quad[/math]
diventa:
[math]\ A\ >\ 4\quad[/math]
se A>0
e
[math]\ -A\ <\ -4\quad[/math]
se A<0 .
Fammi sapere se questa risposta 2 ti sembra chiara
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora io ho risolo in questo modo;
per la 1) abbiamo che:

[math]log\, x-1\neq 0\, \rightarrow log\, x\neq 1[/math]
[math]\rightarrow log\, x\neq log \, 10^{1}\rightarrow x\neq 10[/math]


mentre per la 3)ovvero
[math]-1\leq \left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |-1\leq 1[/math]

equivale a risolvere il seguente sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |\geq 0 \\
\\
\left | \frac{logx+2}{logx-1} \right |\leq 2
\end{matrix}\right.[/math]


la prima disequazione per definizione di valore assoluto è risolta per:
[math]\forall x\in \mathbb{R}[/math]


mentre la seconda disequazione equivale al sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{logx+2}{logx-1} \leq 2 \\
\\
\frac{logx+2}{logx-1} \geq -2
\end{matrix}\right. [/math]


da cui le soluzioni sono:
[math]\left\{\begin{matrix}
x\leq 10\, \vee x\geq 10^{4} \\
\\
x\leq 1\, \vee x\geq 10
\end{matrix}\right. \, \, \rightarrow \, \, x\leq 1\, \vee x\geq 10^{4}[/math]


pertanto le soluzioni della 3) sono rappresentate dal sistema:
[math]\left\{\begin{matrix}
\forall x\in \mathbb{R} \\
\\
x\leq 1\, \vee x\geq 10^{4}
\end{matrix}\right. [/math]


da cui risultano essere:

[math]x\leq 1\, \vee x\geq 10^{4}[/math]


è giusto???
quindi ora come devo continuare per trovare l'insieme di definizione e studiare il segno della funzione...
fatemi sapere...
grazie...
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Scusa ma ho preso una cantonata MONDIALE, chissà dove avevo il cervello quando ho scritto questo:
Ora, il caso più semplice e che vale pre tutti i logaritmi deriva dal fatto che:
QUALUNQUE NUMERO ELEVATO ALLA ZERO FA SEMPRE " 1 ".
Quindi:
logx = 1
si traduce in:
a0 = 1
qualunque sia la base "a", quindi:
x = 0.
.
Ecco, dimentica ciò perché è sbagliato!
In realtà
log0 = non esiste, o meglio:
log0 = - infinito

Quindi hai fatto bene tu scrivendo
logx = 1 ===> x = 10.
sempre che si intendano i logaritmi in base "10", cioè logaritmi decimali.
Invece per i sistemi di disequazioni, li hai impostati correttamente ma hai trascurato ( e questo è grave) di controllare i DENOMINATORI che contengono la x (nell'argomento del logaritmo).
Quindi devi porre i denominatori DIVERSI da ZERO, cioè:
log(x-1)
[math]\ne[/math]
0
(x - 1)
[math]\ne10^0[/math]
.
x - 1
[math]\ne[/math]
1 .
x
[math]\ne[/math]
2 .
Inoltre abbiamo visto (io ci ho sbattuto il naso per un abbaglio deprecabile) che l'argomento di un logaritmo non può essere nè ZERO né NEGATIVO, quindi devi porre:
x + 2 > 0 .
x - 1 > 0 .
Controllando i tuoi conti (che a prima vista non mi tornano in nessuno dei due casi che scrivo sotto) mi viene un dubbio:
il testo dell'esercizio è scritto così:
a) log(x - 1) ; log(x + 2) .
oppure così:
b) logx - 1 ; logx +2 ?
Fammi sapere, io ho considerato (forse sbagliando) che i logaritmi fossero scritti con le parentesi (caso a),comunque la procedura è questa.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Il testo è scritto senza parentisi;
ovvero:
logx-1 e logx+2...
Quindi quello che ho scritto io prima è giusto
o no...
Fatemi sapere..
Grazie..
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Prendiamo la seconda disequazione.
logx + 2
[math]\ge[/math]
- 2(logx - 1) .
logx + 2
[math]\ge[/math]
- 2logx + 2 .
logx
[math]\ge[/math]
- 2logx .
3logx > 0 .
logx > 0 .
x > 1 .
Scrivere:
la prima disequazione per definizione di valore assoluto è risolta per:
∀x∈ℝ .
è sbagliato perché c'è (logx -1) al DENOMINATORE quindi DEVI porre:
logx - 1
[math]\ne[/math]
0 .
cioè:
x
[math]\ne[/math]
10 .
Quindi diventa:
∀x∈ℝ - {10} .
Come vedi ci sono tante condizioni da rispettare e non puoi fare "a mente".
Quindi devi fare un grafico disegnando la Retta Reale e PER OGNI CONDIZIONE che hai trovato devi disegnare una linea TRATTEGGIATA dove QUELLA condizione è FALSA e CONTINUA dove quella stessa condizione è VERA. DOVE e SE TUTTE le righe sono CONTINUE, quelli sono gli intervalli che stai cercando.
Per esempio:
1)- - - - - - - -________________________- - - - - - - - -
2)________________________- - - - - - - - - - - - - - - -
R)---------
[math]\not{5}[/math]
-------------------7----------
[math]\not{9}[/math]
---------
ti da come risposta:
. 5 < x
[math]\le[/math]
7 .
se nela riga (1) del grafico i punti "5" e "9" erano esclusi.
Scusa se non riesco ad essere più chiaro, ma queste procedure sono facili da spiegare di persona o alla lavagna, cioè parlando a tu per tu e con semplici disegnini esplicativi. Così via chat per me è difficile essere sintetico e comprensibile allo stesso tempo.
Ti consiglio di fare due grafici: uno per il C.E. (Campo di Esistenza) e poi un altro per i segni della funzione.
In questo secondo grafico le linee TRATTEGGIATE rappresentano segni NEGATIVI e quelle CONTINUE rappresentano segni POSITIVI, quindi per ogni intervallo devi usare la regola della moltiplicazione dei segni.
Nell'esempio di prima:
1)- - - - - - - -________________________- - - - - - - - - (prima disequazione)
2)________________________- - - - - - - - - - - - - - - - -(seconda disequazione)
- - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + (segni della funzione)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusa ma non sto capendo niente..
potresti spiegare meglio..
facendo tutti i passaggi...
per favore..
giovedì ho l'interrogazione...
fatemi sapere...
grazie..

Aggiunto 4 ore 4 minuti più tardi:

Mi potete aiutare..
Sto impazzendo..
Fammi sapere..
Grazie.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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I valori sulla retta reale NON sono in scala, li ho disegnati così solo per visualizzare gli intervalli. Ho fatto tutto in fretta e furia, sono in ritardo per la cena, scusa Non prendere i conti per oro colato, controllali bene. Questo è solo per farti vedere il procedimento
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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allora ho visto come hai risolto e credo che ci sia qualche errore...
ho riprovato a risolvere le condizioni di esistenza ovvero l'insime di definizione...
allego immagine..
se puoi controllare e dirmi se sta fatto bene..
e poi per il segno della funzione non ho capito cosa devo fare..
fammi sapere..
grazie...
Inserire qui il testo del link...

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fammi sapere...
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Non mi torna che non ci sia la condizione che l'argomento del logaritmo deve essere Strettamente maggiore di zero, per il resto va bene. Il mio errore, dettato ahimè dalla furia e dalla distrazione (IMPARA A NON FARE COME ME) è che arcsen e arccos "lavorano" tra -1 e +1, Sono stato imperdonabile e me ne scuso, però apprezzo che tu abbia usato il tuo cervello ed abbia CONTROLLATO come ti avevo suggerito. BRAVA. Per il resto andava bene?
Per il segno della funzione essendo il prodotto di due "oggetti" cioè l'arccs e la parentesi (4 elevato a.....ecc.) devi fare i due grafici delle due disequazioni e poi applicare la regola dei prodotti (più x più), (più x meno) ecc.
La seconda disequazione (se ho fatto i conti giusti) da il grafico in fondo al secondo foglio.
Devi combinarla col grafico che trovi risolvendo la prima disequazione.
Tutto ciò va poi inserito nel Campo di Esistenza fatto in precedenza.
Nel disegno che ti allego quando x < a sia f(x) che g(x) sono entrambe negative quindi:
F(x) = f(x)*g(x) < 0 .
Quando la x è compresa tra "a" e "b"
F(x) = f(x)*g(x) > 0 .
e così via.
Ti torna?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Ecco il disegno
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok.. per la condizione dell'argomento del logaritmo é:

[math]lox> 0\rightarrow x> 1[/math]

Pertanto le condizioni di esistenza sono:

[math]x\geq 10^{4}[/math]

è giusto..
fammi sapere quali sono le condizioni di esistenza..
e potresti farmi vedere i passaggi per lo studio del segno..
mi aiutatemi a completare questa funzione...
non c'è la faccio...
sto impazzendo...
Vi prego aiutatemi..
Grazie..
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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No, la condizione di esistenza del logaritmo è che l'ARGOMENTO del logaritmo si strettamente maggiore di ZERO:

logx => x >0.

Se hai:

log(3x + 5) => (3x + 5) >0.

il generale:

logA => A >0.
log[f(x)] => f(x) > 0
.

Per le condizioni di esistenza di una funzione, è più semplice cercare DOVE una funzione NON ESISTE.
Infatti diciamo che una funzione f(x) esiste sempre se:

a) - NON contiene DENOMINATORI con la "x";
b) - NON contiene RADICI PARI con la "x";
c) - NON contiene LOGARITMI con la "x";
d) - NON contiene ARCSEN o ARCCOS con la "x"
e) - non mi vengono in mente altri casi.

Quindi abbiamo uno o più di questi casi dobbiamo porre le condizioni affinché ogni singola "operazione" sia eseguibile.
Quindi dobbiamo porre:

a) DENOMINATORI diversi da ZERO;
b) ARGOMENTI delle RADICI maggiori o uguali a ZERO;
c) ARGOMENTI dei LOGARITMI maggiori di ZERO;
d) ARGOMENTI di ARCSEN/ARCCOS compresi tra -1 e +1;
e) escludere tutti i casi in cui una qualche operazione NON HA SENSO o una funzione sappiamo che NON ESISTE.

Rappresenti poi ogni singola condizione con una linea CONTINUA dove è VERIFICATA e TRATTEGGIATA dove NON E' VERIFICATA.
Il C.E. (Campo di Esistenza) è rappresentato dagli INTERVALLI o SEMIRETTE dove TUTTE le linee sono CONTINUE, cioè dove TUTTE LE CONDIZIONI SONO VERIFICATE.
Nel caso (a) (DENOMINATORI) normalmente sono da ESCLUDERE solo UNO, DUE, TRE o QUATTRO punti.
In questo caso disegni una linea CONTINUA ma in corrispondenza dei punti che devi escludere disegna una croce, per distinguere quei punto da quelli che sono validi che puoi rimarcare con un grosso pallino.
Se disegno:

________________________x____________________________________
------------------------------------5-----------------------------------------------
Indico che il valore "5" è escluso, cioè R-(5);

se disegno:

________________________0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
------------------------------------5-----------------------------------------------
indico "x minore o uguale a 5"
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