insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio:
Si determini l'insieme di definizione della funzione f definita da:
[math]f\left ( x \right )=log_{2}\left ( 9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x} \right )\cdot arcsin\left ( \frac{x}{\pi } \right )[/math]

L’insieme di definizione della funzione arcoseno è [-1,1] e la funzione logaritimica è definita per valori positivi dell’argomento, si ha:
[math]\left\{\begin{matrix}
-1\leq \frac{x}{\pi }\leq 1\\ \, \, \,
\\
9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x}> 0
\end{matrix}\right.[/math]


per la prima disequazione risulta:
[math] -\pi\leq x\leq \pi[/math]

per la seconda disequazione:
[math]9^{2sin^{2}x}-3^{tan^{2}x}> 0[/math]


[math]3^{2{\left ( 2sin^{2}x \right )}}-3^{tan^{2}x} > 0 [/math]

Passando agli argomenti
[math]2{\left ( 2sin^{2}x \right )}-{tan^{2}x}> 0 [/math]
[math] 4sin^{2}x -{tan^{2}x}> 0 [/math]

è giusto??
ora come la faccio a risolverla..
fatemi sapere..
grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Fino a quel punto è tutto ok.

Ora procederei così...

[math]
\begin{aligned}
4\sin^2 x - \tan^2 x > 0
\; & \Leftrightarrow \; 4\tan^2 x\cos^2 x - \tan^2 x > 0 \\
\; & \Leftrightarrow \; \tan^2x\left(4\cos^2 x - 1\right) > 0 \\
\; & \Leftrightarrow \; \tan^2x\left(2\cos x + 1\right)\left(2\cos x - 1\right) > 0 \\
\end{aligned}
[/math]


e a questo punto studierei la positività di tutti e tre i fattori e farei il
classico prodotto dei segni. Dai, prova a concludere da sola. :)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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allora abbiamo che
[math]tan^2x[/math]
è sempre maggiore di zero e quindi sarà sufficiente risolvere:

[math]\left(2\cos x + 1\right)> 0[/math]

da cui

[math]cosx>-\frac{1}{2}[/math]

e
[math]cosx>\frac{1}{2}[/math]

per la seconda abbiamo

[math]0 < x< \frac{\pi }{3}[/math]
[math]\vee [/math]
[math]\frac{5}{3}\pi < x < 2\pi[/math]


mentre per la prima non riesco a risolverla...
se mi potete aiutare..
grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Tenendo conto che
[math]-\pi \le x \le \pi\\[/math]
, si ha:
1.
[math]\tan^2 x > 0 \; \Leftrightarrow \; x\ne 0 \, \land \, x\ne\pm\pi\\[/math]
;
2.
[math]\cos x > -\frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \; -\frac{2}{3}\pi < x < \frac{2}{3}\pi\\[/math]
;
3.
[math]\cos x > \frac{1}{2} \; \Leftrightarrow \; -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}\\[/math]
.
Dunque, possiamo concludere che
[math]\small D_f = \left\{x \in \mathbb{R} : -\pi < x <-\frac{2}{3}\pi, \; -\frac{\pi}{3}< x < 0, \; 0 < x < \frac{\pi}{3}, \; \frac{2}{3}\pi < x < \pi\right\} \; .\\[/math]

Chiaro? :)
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok...
un'altro dubbio come hai risolto il seno portandolo come tangente..
se me lo puoi spiegare...
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ho semplicemente moltiplicato/diviso
[math]\sin^2 x[/math]
per
[math]\cos^2 x[/math]
. ;)
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