patty18
patty18 - Ominide - 25 Punti
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ho cercato tutto il pomeriggio qualche cosa su come si calcolano i massimi e i limiti di una funzione!!!

in alcune parti dicono una cosa e in alcune un'altra...
l'unica cosa che ho capito che come primo punto devo calcola f'(x) e il suo dominio
poi risolvere f'(x)=0....


qualcuno di voi è in grado di farmi capire come cavolo si calcolano sti benedetti massimi e minimi??????????

Thnaks

Aggiunto 54 minuti più tardi:

mmm... so che ci sono le formule e se nn sbaglio c'è quella cosa del

x^3 + 4x^2 -4
che viene
3x^2 + 8x

e poi ci sono tutte le formule che vengono usate..

D(c)=0
D(e^x)=e^x
D(lux)=1/x
e tutte le altre

Aggiunto 16 ore 19 minuti più tardi:

si fino qui ci sono ! :bounce

Aggiunto 43 minuti più tardi:

senza disturbarti tanto puoi dirmi se questa spiegazione è corretta???

*********SPAM**********

apparte ho visto unerrore di calcolo.... Grazie mille cmq per l'aiuto che mi dai

Aggiunto 11 minuti più tardi:

mmm nn credo di aver capito...
allora...
ho una funzione del tipo : f(x)=x^3-2x^2-1
calcolo la derivata prima che sarebbe: f'(x)=3x^2-4x
pongo la derivata prima = 0 per trovari i valori di massimo e di minimo che però nn mi specifica quale sia il massimo quale sia il minimo o se sono entrambi massimi e minimi.
quindi: f'(x)=3x^2-4x=0
x(3x-4)=0
x=0
3x-4=0 -> x=4/3

da qui pongo la derivata prima > 0 e verrebbe: quindi: f'(x)=3x^2-4x>0
x(3x-4)>0
x>0
3x-4>0 -> x>4/3

Fino qui è giusto??
se si poi non ho capito come fare!!!

Aggiunto 2 ore 53 minuti più tardi:

lol ok...
quindi per capire qual'è il massimo e il minimo si fa cosi????
prima crescente e poi decrescente = MASSIMO
prima decrescente e poi crescente = MINIMO

Aggiunto 1 ore 16 minuti più tardi:

ah quello nn l'abbiamo fatto...abbiamo fatto solo il massimo e il minimo
!!! be che dirti grazie mille veramente...grazie a te ho capito molto!!! bè per oggi ho fatto anche quelli...domani mattina dovrei vedere altro e magari torno a scrivere qualche mio dubbio!!! intanto ti ringrazio ancora!!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28673 Punti
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Per prima cosa devi saper calcolare e avere ben chiaro il concetto di derivata di funzione.

Le conosci le derivate?

Aggiunto 21 minuti più tardi:

Allora le hai gia' viste ma non ti sono molto chiare.

Io cerco di evitare mille teoremi e dimostrazioni e provo a spiegartele in maniera banale.

La derivata prima (cominciamo da lei :) ) e' la funzione che esprime il coefficiente angolare (o pendenza) delle rette tangenti alla funzione.

In parole povere, grazie alla derivata prima, puoi sapere, sostituendo ad essa il valore di x (appartenente al dominio), la pendenza della retta tangente in quel punto.

Vediamo qualche esempio:

[math] f(x)=x [/math]

questa e' una retta, in particolare la bisettrice del primo e terzo quadrante.

La derivata prima e'

[math] f'(x)=1 [/math]

La derivata prima ci da' il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f(x).

Come puoi vedere, in questo caso, la derivata prima non dipende da x..

Questo significa che in qualunque punto del dominio, la retta tangente alla funzione avra' pendenza = 1 (e infatti la retta tangente alla f(x) sara' essa stessa!)

poi ad esempio

[math] f(x)=x^2 [/math]

La derivata prima sara'
[math] f'(x)=2x [/math]

Quindi se noi volessimo trovare la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto x=1, sarebbe sufficiente sostituire alla x della derivata prima il valore x=1

Avremmo dunque che la pendenza della retta tangente alla parabola in quel punto sara' 2

Ovviamente, se volessimo avere la retta, dovremmo a quel punto ricavare la quota (o intercetta).

Quindi tutte le rette tangenti alla funzione parabola, saranno della forma:

[math] y=f'(x)x+q [/math]

Dove x e y e' la coppia di coordinate del punto appartenente alla parabola, mentre f'(x) sara' il valore che la derivata prima assume sostituendo il valore dell'ascissa alla parabola..

Troviamo dunque, ad esempio, 3 tangenti alla parabola nei punti di ascissa 1,2 e 0

Il punto di ascissa 1 (che appartiene alla parabola) avra' ordinata

[math] y=1^2=1 [/math]
.
La retta tangente in quel punto avra' pendenza
[math] m=f'(1)=2 [/math]

La quota (o intercetta) la ricaviamo dunque sostituendo..
[math] 1=2 \cdot 1 + q \to q=-1 [/math]

E quindi la retta tangente nel punto x=1 (e y=1) sara'
[math] y=2x-1 [/math]

X=2

analogamente ricaviamo l'ordinata del punto (appartenente alla funzione parabola)..

[math] y=2^2=4 [/math]

La pendenza sara' data dalla derivata prima e quindi
[math]m=f'(2)=2 \cdot 2 = 4 [/math]

E la quota, dunque
[math] 4=2 \cdot 4+q \to 4=8+q \to q=-4 [/math]

La retta dunque
[math] y=2x-4 [/math]

Infine x=0

il punto della parabola sara' y=0^2=0

la pendenza

[math] f'(0)=2 \cdot 0 [/math]

la retta dunque
[math] 0=0 \cdot 0 + q \to q=0 [/math]

La retta sara' y=0

ci sei fino a qui??

Aggiunto 16 ore 53 minuti più tardi:

Per concludere il discorso, ritorniamo con la memoria allo studio delle rette..

Ricorderai (credo) che se consideri tutte le rette passanti per l'origine, puoi concludere che:

la retta orizzontale (asse x ovvero y=0) ha pendenza = 0
tutte le rette che giacciono nel primo e terzo quadrante hanno pendenza positiva
tutte le rette che giacciono nel secondo e quarto quadrante hanno pendenza negativa
la retta verticale (asse y ovvero x=0) non ha pendenze (volgarmente ha pendenza infinita...)

infine ricorderai che le rette parallele hanno stesso coefficiente angolare (o pendenza) e quindi tutte le rette parallele (ad esempio) a quelle che giacciono nel primoe terzo quadrante avranno pendenza positiva.

E dunque, una volta calcolata la derivata prima, potrai capire, oltre alla pendenza delle rette tangenti, anche l'andamento della funzione.

Infatti se la retta tangente ha pendenza positiva (e quindi la derivata prima e' maggiore di zero) capirai che la funzione "cresce" ovvero ha un andamento "dal basso a sinistra all'alto a destra"

Analogamente se la derivata prima e' negativa (la tangente quindi e' orientata secondo le rette che giacciono nel secondo e quarto quadrante) la funzione e' decrescente (ovvero va da "in alto a sinistra a in basso a destra".

Quindi quando studiamo il segno della derivata prima (ovvero quando essa e' maggiore o minore di zero) troviamo gli intervalli in cui la funzione decresce e quelli in cui cresce.

Riconsideriamo la funzione (nota) f(x)=x^2

la derivata prima sara' f'(x)=2x

Studiamone il segno

f'(x)>0 se x>0
quindi per x>0 la funzione cresce (e' il ramo destro della parabola che "va in su";) mentre per x<0 decresce (e' il ramo sinistro della parabola che "arriva dall'alto e scende)

Quindi diremo che la funzione decresce da - infinito a zero, cresce da zero a + infinito..

E in zero?

Siccome decresce e poi cresce (rappresenti cosi'..... \ / ) allora in zero (siccome x=0 appartiene al dominio) avremo un punto di minimo..

Consideriamo un altro esempio..

[math] f(x)= \sin x [/math]

nell'intervallo [0,2pi]

La funzione e' continua e nell'intervallo esiste sempre

La derivata sara'

[math] f'(x)= \cos x [/math]

Studiando quando cosx>0 otteniamo come soluzioni
[math] 0 < x < \frac{\pi}{2} \ \ \cup \ \ \frac32 \pi < x < 2 \pi [/math]

Quindi la funzione cresce nell'intervallo (e decresce nel resto del dominio)

e dunque

da 0 a pi/2 /

da pi/2 a 3/2 pi \

da 3/2 pi a 2pi /

Quindi in pi/2 avremo un massimo e in 2/2 pi un minimo (ovvero in sintesi dove la funzione cambia da decrescente a crescente avremo un minimo da decrescente a crescente un massimo)

OVVIAMENTE I PUNTI DI "CAMBIO" DEVONO APPARTENERE AL DOMINIO!

Per sapere se il minimo e' assoluto o relativo, infine, occorre valutare la funzione...

la parabola ad esempio, parte da - infinito, scende fino a x=0 e risale a + infinito.

Quindi in x=0 il minimo e' assoluto, infatti la funzione piu' giu' di cosi' non va.

Attenzione che a volte la derivata prima si annulla ma non hai minimi/massimi

e' il caso, ad esempio, di x^3 che ha derivata 3x^2, sempre positiva tranne in x=0.

La funzione dunque cresce sempre, tranne in x=0 dove ha tangente orizzontale (e quindi un flesso).

dovvrei aver scritto tutto..

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Il link che hai messo (e che ho tolto) riporta un procedimento corretto.

Aggiunto 1 ore 13 minuti più tardi:

Si..
A questo punto hai una disequazione di secondo grado.
Primo fattore > 0 per x>0
second fattore >0 per x>4/3

ti fai il grafico dei segni e trovi come soluzione finale:

[math] x<0 \cup x>\frac43 [/math]

Quindi la funzione cresce fino a 0 poi decresce fino a 4/3 e poi cresce di nuovo fino a + infinito.

In x=0 hai un massimo;
in x=4/3 hai un minimo

Nessuno dei due e' massimo/minimo assoluto, in quanto la funzione "parte" da - infinito (che e' meno del minimo xD ) e poi finisce a + infinito

Aggiunto 2 ore 19 minuti più tardi:

Esatto....

Se invece e' crescente sia prima che dopo, o decrescente sia prima che dopo, e' un flesso a tangente orizzontale.

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