MattiaH
MattiaH - Ominide - 14 Punti
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In un triangolo ABC, sia P il piede della perpendicolare condotta da B sulla retta della bisettrice dell'angolo A. Dimostrare che la parallela ad AC condotta da P passa per i punti medi di AB e BC.
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Nel triangolo ottusangolo ABC, isoscele sulla base AB, la perpendicolare in C ad AC interseca AB nel punto D. L'asse del segmento DB interseca in P la parallela ad AB condotta dal vertice C. Dimostrare che BP = PC e che ABC(angolo)=CBP(angolo).
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Il punto P interno al parallelogrammo ABCD di centro O sia tale che APB(angolo)=CPD(angolo)=90°. Si dimostri che la retta OP è perpendicolare a BC.

Aggiunto 55 minuti più tardi:

HP= C(angolo)>90°; DC perpendicolare AC; DM=MB; CP parallelo AB; AC=CB; PM perpendicolare DB;
TH= BP=PC; ABC(Angolo)=CBP(angolo)
Considerando che il triangolo ABC è isoscele sulla base AB oltre ad avere i lati AC=CB avrà anche CAB(angolo)=ABC(angolo).
Se consideriamo le rette parallele DB e CP tagliate dalla trasversale CB avranno DBC(angolo)=PCB(angolo), di conseguenza CAB(angolo)=DBC(angolo)=BCP(angolo).
Qui mi blocco perché non riesco a trovare più niente in comune. >_<

Mentre del 3° non riesco a fare nemmeno la figura perché la mia professoressa non ci ha mai fatto fare problemi del genere o comunque non ci ha mai spiegato come trovare il centro di una figura.
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Chiama l'angolo in A 2x.

La retta AP e' bisettrice, pertanto divide l'angolo 2x in due angoli congruenti pari alla meta' di 2x (ovvero x)

Chiama ora M il punto di intersezione tra la retta passante per P e il lato AB, ed N il punto di contatto con BC.

Considera le parallele AC e MN e la trasversael AP.
Gli angoli MAP e APM sono alterni interni, pertanto congruenti.

Quindi anche APM = x

e dunque il triangolo AMP e' isoscele, e AM=MP.

L'angolo AMP, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo pari a 180, sara' 180-2x.

L'angolo BMP, sara' pari all'angolo piatto (180) - l'angolo AMP (ovvero 180-2x) e pertanto misurera' 180-(180-2x) = 180-180+2x = 2x

L'angolo MBP invece sara' pari all'angolo BPA (retto) - l'angolo APM (x) e quindi misurera' 90-x

L'angolo MBP sara' dunque

180 - 2x - (90-x) = 90 - x

Pertanto l'angolo MBP = angolo MPB e dunque il triangolo MPB e' isoscele di base BP.

Pertanto MP=MB perche' lati di un triangolo isoscele

Ma MP=MA per quanto detto prima

Quindi per la proprieta' transitiva:

AM=MP
MP=MB

dunque AM=MB

M e' il punto medio di AB.

Considera ora i triangoli MBN e ACB

Essi sono simili in quanto hanno l'angolo in B condiviso, e gli angoli in M e in N corrispondenti agli angoli in A e C

Pertanto i triangoli MBN e ACB sono simili

Pertanto i lati stanno nella stessa proporzione, quindi essendo MB=AB/2 sara' anche BN=BC/2 (e dato superfluo, ma MN=AC/2)

Aggiunto 36 secondi più tardi:

Ora posta tu i ragionamenti (anche se errati) sugli altri problemi.

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