skelly
skelly - Habilis - 225 Punti
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Data la parabola y=x^2-2x+7 e la retta r di equazione y=2x-1, determina l'equazione della retta parallela ad r passante per il vertice della parabola e calcola le cordinate dei punti di intersezione di tale retta con la parabola.

Dopo aver verificato che la retta di equazione y= -6x-1 è tangente in un punto A alla parabola di equazione y= x^2 -4x, determina l'area del triangolo AVF dove V ed F sono rispettivamente il vertice e il fuoco della parabola.

Determina l'area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione x-3y-1=0 con la parabola di equazione x= -y^2 +2y+1 ed F è il fuoco della parabola.

Ancora un'aiuto,please! :hi Grazie 1000!! :hi :hi

Aggiunto 13 ore 59 minuti più tardi:

posso chiederti un'altra cosa? : per det per quali valori di m la parabola di eq y=2x^2 -4x+3 e il fascio di rette di eq ymx+m hanno dei punti in comune...come faccio??
Grazie!!!

enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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La retta parallela deve avere lo stesso coefficiente angolare (2). Il vertice della parabola è

[math]v(1,6)[/math]
.
La retta che ha queste caratteristiche è:
[math]
6=2+q \to q=4 \to y=2x+4
[/math]

Per calcolare i punti di intersezione con la parabola svolgi questo sistema
[math]
\{y=x^2-2x+7\\y=2x+4
[/math]

Svolgi il sistema per vedere la tangenza

[math]
\{y= x^2 -4x\\ y= -6x-1
[/math]

[math]
\{(x+1)^2=0 \to x=-1 \\y=5
[/math]

[math]
\Delta=16
[/math]

Il vertice v(2,-4) e il fuoco
[math] f(2,-\frac{15}{4})[/math]

Per trovare l'area del triangolo utilizzi la formula di Erone:

p=semiperimetro
a,b,c=misure dei lati che ottieni in questo modo, conoscendo due punti

[math]
P_{1}(x_{1},y_{2}) \\ P_{2}=(x_{2},y_{2})
[/math]

[math]
\bar{P_{1}P_{2}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}
[/math]

[math]
A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
[/math]


I punti A e B li trovi svolgendo questo sistema

[math]
\{x-3y-1=0\\ x= -y^2 +2y+1
[/math]

[math]
\Delta=\sqrt{8}
[/math]

Il fuoco
[math]f(-\frac{1-\sqrt{8}}{4},\ 1)[/math]

L'area la trovi utilizzando il metodo che hai usato per ilproblema precedente

Questa risposta è stata cambiata da melody_gio (18-07-17 14:22, 1 anno 4 mesi 5 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28576 Punti
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Metti a sistema la parabola e la retta (ovvero il fascio)

[math] \{y=2x^2-4x+3 \\ y=mx+m [/math]

Sostituendo la seconda nella prima, hai
[math] mx+m=2x^2-4x+3 \to 2x^2+(-m-4)x+3-m=0 [/math]

Hai un'equazione di secondo grado, le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola.

Se l'equazione ha 2 soluzioni, i punti sono 2 (distinti) e pertanto la retta e' secante alla parabola;

Se l'equazione ha 2 soluzioni coincidenti, la retta e' tangente.

Se l'equazione non ha soluzioni, non esistono punti di contatto, e quindi la retta e' esterna.

Il numero delle soluzioni lo determina il delta...

Delta maggiore di zero = 2 soluzioni = retta secante

Studiamo il delta:

[math] \Delta= (-m-4)^2-4(2)(3-m) [/math]

ovvero
[math] m^2+16+8m-24+8m \to m^2+16m-8 [/math]

Studiamone il segno
[math] m^2+16m-8 > 0 [/math]

[math] m= -8 \pm \sqrt{64+8} [/math]

Ovvero
[math] m=-8 \pm \sqrt{36 \cdot2}=-8 \pm 6 \sqrt2 [/math]

Pertanto rette secanti per
[math] m < -8- 6 \sqrt2 \ \ \cup \ \ m>-8 +6 \sqrt2 [/math]

Tangenti per
[math] m=-8 \pm \6 \sqrt2 [/math]

Esterne per
[math]-8-6 \sqrt2 < m < -8+6 \sqrt2 [/math]

Controlla i conti, ma il procedimento e' questo
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