HooK103
HooK103 - Ominide - 9 Punti
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Ciao ragazzi!!!! Non riesco a capire il verso da mettere nello studio del segno delle disequazioni di 2° grado :'(. Mi potete spiegare dettagliatamente e in parole semplici XD come si fa; qualcuno mi aiuta per favore? Grazie in anticipo :D
Max 2433/BO
Max 2433/BO - Genius - 15502 Punti
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Iniziamo considerando la scomposizione di un'equazione di 2° grado:

sappiamo che

[math] ax^2 + bx +c = 0 [/math]


può avere due soluzioni distinte
[math] x_1 \neq x_2 \;[/math]
se il
[math] \Delta > 0 [/math]


può avere due soluzioni coincidenti
[math] x_1 = x_2 \; [/math]
se il
[math] \Delta = 0 [/math]


non ha soluzione (cioè ha soluzione nell'insieme dei numeri complessi) se il
[math] \Delta < 0 [/math]


Nel primo caso abbiamo che l'equazione di 2° grado si scompone in:

[math] ax^2 + bx +c = (x - x_1)(x - x_2) [/math]


considerando per convenzione che
[math] x_1 < x_2 [/math]


di conseguenza avremo i seguenti casi:

1)
[math] (x - x_1)(x - x_2) = 0 [/math]


se
[math] x - x_1 = 0 \; [/math]
oppure se
[math] x - x_2 = 0 [/math]


ovvero se
[math] x = x_1 \; [/math]
o
[math] x = x_2 [/math]


2)
[math] (x - x_1)(x - x_2) < 0 [/math]


se
[math] x_1 < x <x_2 [/math]


infatti per
[math] x > x_1 \; [/math]
abbiamo che
[math] (x - x_1) > 0 \;[/math]
e per
[math] x < x_2 \; [/math]
abbiamo che
[math] (x - x_2) < 0 [/math]


e come sappiamo il risultato del prodotto di due binomi di segno opposto è negativo.

3)
[math] (x - x_1)(x - x_2) > 0 [/math]


se
[math] x < x_1 \;[/math]
oppure se
[math] x > x_2 [/math]


infatti per
[math] x < x_1 \; [/math]
abbiamo che
[math] (x - x_1) < 0 \;[/math]
e anche
[math] (x - x_2) < 0 \;[/math]
, viceversa per
[math] x > x_2 \; [/math]
abbiamo che
[math] (x - x_1) > 0 \;[/math]
e anche
[math] (x - x_2) > 0 [/math]


e come sappiamo il risultato del prodotto di due binomi di segno concorde è positivo.


Quando invece il
[math] \Delta = 0 \;[/math]
allora l'equazione di 2° grado si scompone così:

[math] ax^2 + bx +c = a(x - x_1)^2 [/math]


In questo caso, essendo il binomio elevato al quadrato, il risultato sarà sempre positivo se
[math] x \neq x_1 \; [/math]
altrimenti sarà uguale a 0, non potrà mai essere negativo.

Spero di essere stato abbastanza esauriente.

:hi
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