skelly
skelly - Habilis - 225 Punti
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Per quali valori reali del parametro a la retta di equazione y=(2a^2 +a-6)x-3 forma con l'asse positivo delle x un angolo maggiore dell'angolo retto?


2) P(x)= x^3 +2x^2 -5x-6 e Q(x) =x^3 +1
Per quali x appartenente a R i valori assunti dai due polinomi risultano discordi?
BIT5
BIT5 - Mito - 28572 Punti
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1) si tratta di ricordare che, data la generica retta y=mx+q , essa formera' con l'asse delle x un angolo:

NULLO se m=0 (in verita' se m=0 e q e' diverso da 0, la retta non interseca l'asse x)
compreso tra 0 e 90 gradi se m>0
compreso tra 90 e 180 se m<0

Per rispondere all'esercizio dovremo dunque:

a) imporre una pendenza <0 e dunque

[math] 2a^2+a-6<0 [/math]

Risolviamo la disequazione trovando le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata:
[math] 2a^2+a-6=0 \to a= \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} \to a_1=2 \ \ \ a_2=-3 [/math]

E dunque tutte le rette che formano un angolo maggiore di 90 gradi (e minore di 180) sono quelle per cui
[math] a<-3 \cup a>2 [/math]

Tra tutte queste, dobbiamo ancora trovare le rette che intersecano l'asse x nel suo semiasse positivo..

I punti di intersezione con l'asse x avranno tutti y=0, e pertanto

[math] x= \frac{3}{2a^2+a-6} [/math]

Vogliamo solo le x positive, pertanto dovremo porre che sia
[math] \frac{3}{2a^2+a-6}>0 [/math]

Che e' risolta per a<-3 U a>2

Pertanto nell'intervallo trovato avremo le rette che formano con l'asse x un angolo >90 (e minore di 180) e i punti di intersezione saranno tutti nel semiasse positivo (x>0)

2) Affinche' due polinomi sia discordi, il segno dev'essere diverso. Pertanto dovrai risolvere la seguente unione di sistemi:

[math] \{x^3+2x^2-5x-6>0 \\ x^3+1<0 [/math]
[math] \cup \{x^3+2x^2-5x-6<0 \\ x^3+1>0 [/math]

O meglio ancora, ragionarla cosi':

Se due polinomi sono discordi, il loro rapporto sara' negativo.

Infatti per risolvere l'esercizio bastera' imporre che

[math] \frac{p(x)}{q(x)} < 0 [/math]

Le soluzioni della disequazione saranno anche quelle per cui i valori dei polinomi sono discordi (ovvero se uno positivo l'altro negativo e viceversa, in considerazione del fatto che +/-=-/+ entrambi < 0 )
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