Saphira_Sev
Saphira_Sev - Habilis - 178 Punti
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Ciao! Potreste spiegarmi come risolvere questo problema?

"Nel semipiano delle ordinate positive considera un punto generico P del ramo dell’ iperbole “gamma” di equazione 16x^2-9y^2+144=0, la sua proiezione H sull’asse x e il fuoco F dell’iperbole. Indicata con t la retta tangente all’iperbole “gamma” nel punto P, sia T il punto in cui t incontra l’asse delle ascisse. Determina le coordinate di P affinchè si abbia 4TF = radical 17 PH."

Grazie mille in anticipo :*
mc2
mc2 - Genius - 14300 Punti
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Scriviamo l'iperbole nella forma canonica:

[math]\frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=-1[/math]

[math]\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=-1[/math]

si riconosce la forma canonica
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]
per un'iperbole con il centro nell'origine ed i fuochi sull'asse delle y, con
[math]a=3[/math]
e
[math]b=4[/math]


Un punto generico P del ramo nel semipiano y>0 ha coordinate:

[math]P(x_0,\frac{4}{3}\sqrt{x_0^2+9})[/math]

(
[math]x_0[/math]
sara` la nostra incognita)
la sua proiezione sull'asse x e`
[math]H(x_0,0)[/math]
ed il fuoco (nel semipiano y>0) e`
[math]F(0,c)[/math]
con
[math]c=\sqrt{a^2+b^2}=5[/math]
, cioe`
[math]F(0,5)[/math]


Per trovare la tangente in P all'iperbole conviene usare la formula degli sdoppiamenti:

[math]\frac{xx_0}{9}-\frac{y\frac{4}{3}\sqrt{x_0^2+9}}{16}=-1[/math]

e questa tangente interseca l'asse x nel punto T in cui y=0, a cui corrisponde
[math]x=-\frac{9}{x_0}[/math]

[math]T(-\frac{9}{x_0},0)[/math]
Ovviamente dovra` essere
[math]x_0\neq 0[/math]
altrimenti la tangente e` orizzontale ed il punto T non esiste.
Ora dobbiamo determinare
[math]x_0[/math]
in modo che sia soddisfatta la richiesta del problema:
[math]4~TF=\sqrt{17}~PH[/math]


[math]TF=\sqrt{\frac{81}{x_0^2}+25}[/math]

[math]PH=\frac{4}{3}\sqrt{9+x_0^2}[/math]


[math]4\sqrt{\frac{81}{x_0^2}+25}=\sqrt{17}\frac{4}{3}\sqrt{9+x_0^2}[/math]

[math]\frac{81}{x_0^2}+25=\frac{17}{9}(9+x_0^2)[/math]

Poiche'
[math]x_0\neq 0[/math]
si puo` moltiplicare per
[math]9x_0^2 [/math]
e si ottiene un'equazione biquadratica:
[math]17x_0^4-72x_0^2-729=0[/math]

Si trovano due soluzioni:

[math]x_0^2=-\frac{81}{17}[/math]
che non e` accettabile
[math]x_0^2=9[/math]
che e` accettabile.
Quindi
[math]x_0=\pm 3[/math]
: ci sono due possibilita` per il punto P richiesto:
[math]P_1(3,4\sqrt{2})[/math]
e
[math]P_2(-3,4\sqrt{2})[/math]
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