improudofhim
improudofhim - Ominide - 42 Punti
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studia il fascio di parabole di equazione y=-x^2+kx, verificando che ha come punto base l'origine O degli assi. Dopo aver scritto l'equazione della tangente in O alla generica parabola del fascio, considera il punto di intersezione C tra tale tangente e la retta x=k e il punto H, proiezione di C sull'asse x. Calcola il limite di k che tende a 0 di (OC-OH)/CH per OH)
mc2
mc2 - Genius - 14189 Punti
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Generica retta passante per O :
[math]y=mx[/math]

Deve essere tangente alle parabole del fascio, quindi bisogna scrivere il sistema retta+parabole e imporre che abbia soluzioni doppie, cosi` si ottiene una relazione tra i parametri m e k

[math]\left\{
\begin{array}[c]{l}
y=-x^2+kx \\ y=mx
\end{array}\right.
[/math]


[math]-x^2+kx=mx[/math]

[math]x^2+(m-k)x=0[/math]

questa equazione deve avere il
[math]\Delta = 0[/math]
, quindi
[math]m=k[/math]

Ora quindi sappiamo che la generica parabola del fascio ha come retta tangente in O la retta
[math]y=kx[/math]


Punto C di intersezione tra la tangente e la retta
[math]x=k[/math]
:
[math]C(k,k^2)[/math]


H e` la proiezione di C su asse x:
[math]H(k,0)[/math]


[math]OC=\sqrt{k^2+k^4}=|k|\sqrt{1+k^2}[/math]

[math]OH=|k|[/math]

[math]CH=k^2[/math]

[math]\frac{OC-OH}{CH\cdot OH}=
\frac{|k|\left(\sqrt{1+k^2}-1\right)}
{|k|k^2}=\frac{\left(\sqrt{1+k^2}-1\right)}{k^2}
[/math]


E ora basta calcolare il limite, p.es. con l'Hopital:


[math]\lim_{k\to 0} \frac{\left(\sqrt{1+k^2}-1\right)}{k^2}=\frac{1}{2}[/math]
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