PEPITAGILRS
PEPITAGILRS - Ominide - 46 Punti
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y=ln(senx)+ln(tgx)
y=ln (arcsenx)
y=tgx/1-tg2x
y=ln(x-radice di 1-2x)
BIT5
BIT5 - Mito - 28670 Punti
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La prima:

si tratta della somma di:

un logaritmo (argomento maggiore di zero) di senx(definita su tutto R)
e di un logaritmo (argomento maggiore di zero) di tanx(definita su tutto R ad eccezione di x=pi/2+kpigreco)

Quindi

[math] D= \{\sin x >0 \\ \tan x > 0 \\ x \ne \frac{\pi}{2}+k \pi [/math]

Da cui
[math] D= \{0+2k \pi < x < \frac{\pi}{2}+2k \pi \\ k \pi < x < \frac{\pi}{2}+k \pi \\ x \ne \frac{\pi}{2}+k \pi[/math]

E pertanto, segnando sulla circonferenza goniometrica le tre soluzioni, avremo
[math] D= \( k \pi , \frac{\pi}{2}+k \pi \) [/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

La seconda:

La funzione arcsen e' definita da -1 (compreso) a 1 (compreso)

Inoltre dovra' essere arcsinx>0 inquanto argomento del logaritmo

Quindi

[math] D= \{-1 \le x \le 1 \\ arcsin \ x > 0 [/math]

E dunque
[math] D= \{ -1 \le x \le 1 \\ 0<x<1 [/math]

E dunque il dominio
[math] D=(0,1) [/math]

Aggiunto 8 minuti più tardi:

La terza:

Abbiamo una frazione (pertanto denominatore diverso da zero) nonche' la presenza della tangente impone che l'argomento sia diverso da pigreco/2 + k pigreco

E dunque

[math] \{ x \ne \frac{\pi}{2}+k \pi \\ 2x \ne \frac{\pi}{2} + k \pi \\ 1- \tan(2x) \ne 0 [/math]

Pertanto
[math] \{ x \ne \frac{\pi}{2}+k \pi \\ x \ne \frac{\pi}{4}+ \frac{k}{2} \pi \\ \tan(2x) \ne 1 [/math]

E pertanto la terza
[math] \tan (2x)= \tan \( \frac{\pi}{4}+k \pi \) \to x= \frac{\pi}{8}+ \frac{k}{2} \pi [/math]

Pertanto il dominio, siccome la seconda, grazie al periodo, esclude anche la prima, sara' semplicemente
[math] x= \frac{\pi}{8}+ \frac{k}{2} \pi \ \ con \ \ x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k}{2} \pi [/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

La quarta e'

[math] y) \log \( x- \sqrt{1-2x} \) [/math]

LOGARITMO: argomento > 0
RADICE AD INDICE PARI: Radicando > o uguale a zero
[math] D= \{x- \sqrt{1-2x} > 0 \\ 1-2x \ge 0 [/math]

E quindi, la prima:
[math] \sqrt{1-2x}<x [/math]

e' una disequazione irrazionale che va risolta con il sistema:
[math] \{x>0 \\ 1-2x \ge 0 \\ 1-2x<x^2 [/math]

Come puoi vedere una delle tre disequazioni del sistema risolutivo e' identica alla seconda disequazione del dominio (campo di esistenza della radice)

Pertanto la soluzione di questa disequazione sara' anche la soluzione del calcolo del dominio (risolvere la seconda disequazione del dominio, gia' ricompresa in questo sistema, sarebbe un'inutile perdita di tempo e porterebbe a calcolare qualcosa che gia' stiamo calcolando)

[math] \{ x>0 \\ x \le \frac12 \\ x^2+2x-1>0 [/math]

risolviamo l'equazione associata alla terza disequazione (utilizzando la ridotta)
[math] x= -1 \pm \sqrt{1+1} \to x=-1 \pm \sqrt2 [/math]

Pertanto le soluzioni della terza disequazione saranno:
[math] x<-1- \sqrt2 \cup x>-1+ \sqrt2 [/math]

Pertanto il sistema finale sara'
[math] \{ x>0 \\ x \le \frac12 \\ x<-1- \sqrt2 \cup x>-1+ \sqrt2 [/math]

E quindi la soluzione finale (facendo il grafico del sistema e calcolando che
[math]-1+ \sqrt2< \frac12 [/math]
nonche' il dominio sara'
[math] D= \(-1+ \sqrt2, \frac12 \] [/math]

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