maccallscoot
maccallscoot - Erectus - 126 Punti
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Potete aiutarmi con questi due esercizi per favore. Grazie mille
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Il "valore assoluto" è a tutti gli effetti una funzione che ad ogni numero reale associa (detto in parole povere) lo stesso numero "privato" del segno. Considera che quando davanti ad un numero NON c'è SCRITTO nulla si considera che sia positivo, in quanto (per pigrizia) il segno "+" viene sistematicamente SOTTINTESO.
Quindi, se un numero è POSITIVO (o ZERO) il VALORE ASSOLUTO lascia il numero stesso "invariato".
|+3| = 3 (che equivale a dire "+3";)
o viceversa
|+3| = +3 (che equivale a dire "3";)
Invece il valore assoluto di un numero NEGATIVO, essendo uguale al numero stesso "senza" il segno, ci da un numero POSITIVO
|-3| = 3 = +3
In pratica il "valore assoluto" ci da la distanza del numero dallo zero.
E' evidente che "+3" e "-3" distano entrambi "3" dallo zero, anche se sono uno a destra e l'altro a sinistra.
Tutto questo per spiegare che:
.
[math]|x|=\ x\ \iff x\geq0\\|x|=-x\ \iff x<0[/math]
.
.
Questo vale qualunque sia l'oggetto del valore assoluto:
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[math]|x+1|=x+1\iff (x+1)\geq0\ .\ cioè\ .\ \ x\geq -1\\|x+1|=-(x+1)=-x-1\ \iff(x+1)<0\ .\ cioè\ .\ x<-1[/math]
.
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Partiamo dal primo esercizio:
.
[math]y=2x^2-|8x|+8[/math]
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.
Qui compare un solo valore assoluto, quindi poniamo:
.
[math]|8x|=\ 8x\ \iff 8x\geq0\ --->\ x\geq0\\|8x|=-8x\ \iff 8x<0\ --->\ x<0[/math]
.
.
Quindi al posto della nostra funzione di partenza abbiamo DUE funzioni diverse in DUE diverse parti del grafico separate (in questo caso) dalla retta verticale x=0 (asse Y):
.
[math]y_1=2x^2-(-8x)+8=2x^2+8x+8\ .\ .\ (x<0)\\y_2=2x^2-(8x)+8=2y^2-8x+8\ .\ .\ (x\geq 0)[/math]
.
.
Ora, pur riassumendoli alla fine sullo stesso grafico, dobbiamo fare DUE distinti studi e DUE distinti grafici per
[math]y_1\ e\ y_2[/math]
tenendo ben presente DOVE vale
[math]y_1[/math]
e DOVE vale
[math]y_2[/math]
.
_______________________________
Per il secondo esercizio abbiamo DUE valori assoluti quindi dobbiamo considerare due condizioni:
.
y = 3|x| + |x + 1| -3
.
[math]|x|=x\ (quando\ \geq 0)\\|x|=-x\ (quando\ x<0)\\e\\|x+1|=+x+1\ (quando\ x\geq -1)\\|x+1|=-x-1\ (quando\ x<-1)[/math]
.
.
In questo caso la nostra funzione di partenza corrisponde a TRE diverse funzioni per colpa dei DUE valori assoluti:
se chiamiamo
A = |x|
B = |x+1|
abbiamo che sull'Asse X
.
---[A<0]e[B<0]----> (-1) <----[A<0]e[B>0]----> (0) <---[A>0]e[B>0]----------
.
Quindi scriviamo le TRE funzioni:
.
[math]y_1=3(-x)+(-x-1)+3=-4x-4\\y_2=3(-x)+(x+1)-3=-2x-2\\y_3=3(x)+(x+1)-3=4x-2\\cioè:\\y_1=-4x-4\ .\ .\ .(x<-1)\\y_2=-2x-2\ .\ .\ .(-1\le x<0)\\y_3=4x-2\ .\ .\ .(x\geq 0)[/math]


Quindi dobbiamo ESPLICITARE la funzione di partenza scrivendone DUE (o tre nel secondo esempio) specificando in quale intervallo vale ognuna di esse e fare il grafico finale COMPONENDO i singoli grafici relativi ai vari intervalli determinati dai singoli valori assoluti.
.
Fammi sapere se sono stato sufficientemente chiaro (non è facile per chi scrive unire sinteticità e chiarezza). Se non capisci qualcosa, sappi che la colpa non è tua, ma mia che mi sono spiegato male.
P.S. Ho controllato tre volte, ma un errore di digitazione o di trascrizione è sempre in agguato, quindi controlla sempre tutti i passaggi con attenzione
maccallscoot
maccallscoot - Erectus - 126 Punti
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Grazie sei stato molto chiaro
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Grafico dell'esercizio n. 2
La linea "grossa" rappresenta il grafico finale.
Come vedi ho lasciato le TRE rette per mostrarti che di ognuna dobbiamo prendere solo il "pezzo" corrispondente al proprio campo di esistenza.
Il grafico è diviso in TRE dalle rette verticali
x = -1
e
x = 0
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