mark930
mark930 - Genius - 4428 Punti
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Salve,

la funzione
[math]
f: N ----> N \\
f(n) = 2n[/math]

Non è suriettiva, giusto?

Come possiamo renderla suriettiva modificando solo il dominio o il codominio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Ovviamente non è suriettiva: infatti se nel codominio scegli un numero dispari,non esisterà nessun numero pari che ne fornisca l'immagine attraverso la funzione data (che serve a costruire solo i numeri pari).
Per renderla suriettiva, puoi usare come codominio l'immagine di
[math]f[/math]
: essa consiste del sottoinsieme
[math]P\subset \mathbb{N}[/math]
dei numeri pari. Pertanto
[math]f:\mathbb{N}\longrightarrow P\\ \quad n\mapsto 2n[/math]

risulta suriettiva (e anche iniettiva).
mark930
mark930 - Genius - 4428 Punti
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Ok, ma come faccio a vedere dal grafico della funzione che non è suriettiva?

Per vedere se una funzione è suriettiva, dal grafico, si dovrebbe vedere se la funzione si estende per tutto l'asse y, ma nonostante la funzione in questione è una retta che va da - infnito a + infinito non è suriettiva. La mia domanda è: come faccio a vedere dal grafico se una funzione è suriettiva (in ogni caso), perchè a quanto pare non basta vedere che l'ombra della funzione copre tutto l'asse y.

Grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Fai un errore di valutazione: la funzione che hai definito è discreta, per cui non puoi disegnala come una retta continua, ma solo fissando alcuni punti: ad esempio
[math](1,2),\ (2,4),\ (3,6)[/math]
e così via.
Da ciò puoi concludere la non suriettività perché, ad esempio, non troverai nessun
[math]n[/math]
per cui tu possa disegnare il punto
[math](n,5)[/math]

Tra l'altro la definizione che dai di suriettività non è corretta: quella esatta è affermare che per ogni punto nel codominio (e in questo caso il codominio non è l'asse y, ma solo i punti su tale asse con valori interi positivi) esiste un punto nel dominio che sia la sua controimmagine. In pratica se
[math]f:A\rightarrow B[/math]
allora per ogni
[math]b\in B[/math]
esiste
[math]a\in A[/math]
tale che
[math]f(a)=b[/math]
.
mark930
mark930 - Genius - 4428 Punti
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Quindi il metodo grafico per stabilire se una funzione è suriettiva scritto qui è sbagliato?
http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale/11-come-controllare-se-una-funzione-da-r-a-r-e-suriettiva.html
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