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salve, sto facendo le funzioni radice. Ho cercato online qualcos asu ripmat ma vedo solo definizioni base, non capisco gli esempi dificli
salve, sto facendo le funzioni radice. Ho cercato online qualcosa su ripmat ma vedo solo definizioni base, nn capisco gli esempi dificli
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \sqrt[2]{x}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ge 0 \right\}[/math]

e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
[math]O(0,\,0)\\[/math]
.
Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha
[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è non negativa per qualsiasi
[math]x\\[/math]
reale positivo.
Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui si evince che
[math]f[/math]
oltre a non avere asintoti verticali non ne ha
nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.

Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]f\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt[2]{x}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
cresce per ogni
[math]x > 0[/math]
. Quindi,
[math]O[/math]
è
punto di minimo assoluto per
[math]f\\[/math]
, ove notando che si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty \end{aligned}[/math]

si deduce che in
[math]x=0[/math]
[math]f\\[/math]
presenta tangente verticale.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f''(x) = - \frac{1}{4\,\sqrt[2]{x^3}} \ge 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \,x \in \text{dom}[f]\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è concava per qualsiasi
[math]x > 0\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
è


2. Data la funzione
[math]g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]g(x) := \sqrt[3]{x}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[g] = \mathbb{R}[/math]

e il proprio grafico interseca gli assi cartesiani solo in
[math]O(0,\,0)\\[/math]
.
Notando che

[math]g(-x) = \sqrt[3]{-x} = - \sqrt[3]{x} = - g(x)\\[/math]
ne consegue che
[math]g[/math]
è una funzione dispari, ossia presenta simmetria
rispetto ad
[math]O[/math]
. In altri termini, grazie a tale proprietà possiamo stu-
diare
[math]g[/math]
solamente per
[math]x > 0[/math]
e il grafico per
[math]x < 0[/math]
lo si ottiene
specchiando quello per
[math]x>0[/math]
prima rispetto all'asse delle ordinate
e poi rispetto a quello delle ascisse.

Per quanto concerne il segno di
[math]g\\[/math]
, si ha
[math]g(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0 \; , \\[/math]
quindi
[math]g[/math]
è negativa per
[math]x < 0[/math]
e positiva per
[math]x > 0\\[/math]
.
Passando allo studio di
[math]g\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
da cui si evince che
[math]g[/math]
oltre a non avere asintoti verticali non ne ha
nemmeno di orizzontali: è possibile però che vi siano asintoti obliqui.

Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0 \end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]g\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]g'[/math]
in
[math]\text{dom}[g]\\[/math]
:
[math]g'(x) = \frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x < 0 \, \vee \, x > 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
cresce sia per
[math]x < 0[/math]
che per
[math]x > 0[/math]
,
mentre notando che si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0} g'(x) = + \infty \end{aligned}\\[/math]
si deduce che in
[math]x=0[/math]
[math]g\\[/math]
presenta tangente verticale.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]g''[/math]
in
[math]\text{dom}[g]\\[/math]
:
[math]g''(x) = - \frac{2}{9\,\sqrt[3]{x^5}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x < 0 \\[/math]
da cui segue che
[math]g[/math]
è convessa per
[math]x < 0[/math]
e concava per
[math]x > 0\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]g[/math]
è


Con questo direi che i caratteri salienti delle "funzioni radici" sono stati visti. ;)
chiaraparisi
chiaraparisi - Sapiens Sapiens - 809 Punti
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grazie chiarissimo
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