alci1212
alci1212 - Ominide - 21 Punti
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Trova per quali valori di K l'equazione
(2k-1)x^2+(k-3)y^2=k rappresenta un'iperbole con distanza focale 4*radquad(2/3).
Io ho giá trovato che l'equazione è un'iperbole per 1/2<k<3, e che in ogni caso è un'iperbole con i fuochi sull'asse x. Ovvero non esistono valori di k che originano un'iperbole con fuochi sull'asse y. Sapendo tutto ció, potreste aiutarmi con il quesito precedente. Vi prego di aiutarmi fino in fondo, senza lasciare nulla in sospeso, perché ho giá tentato di tutto. Grazie!
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data l'equazione di secondo grado
[math](2k - 1)x^2 + (k - 3)y^2 - k = 0[/math]
,
essa rappresenta una iperbole se e solo se
[math]\small -4(2k - 1)(k - 3) > 0 \Leftrightarrow \; \frac{1}{2} < k < 3\\[/math]
.
Assodato ciò, possiamo permetterci di riscriverla così:
[math]\frac{2k - 1}{k}x^2 - \frac{3 - k}{k}y^2 = 1[/math]
ossia
[math]\frac{x^2}{\frac{k}{2k - 1}} - \frac{y^2}{\frac{k}{3-x}} = 1[/math]
.
Imponiamo dunque la distanza focale uguale a quella richiesta:
[math]2\sqrt{\frac{k}{2k-1} + \frac{k}{3-k}}=4\sqrt{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \; k = \frac{12}{19}\,\vee k = 2[/math]
,
che risultano entrambe accettabili. Chiaro? :)
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