rosva1
rosva1 - Erectus - 72 Punti
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Nel fascio di circonferenze passanti per i punti A(-2;2) e B(4;2) determina la circonferenza tangente all'asse x!

Facendo i calcoli, il fascio di rette passanti per i punti mi viene:

x^2+y^2-2x-4y-4+k(y-2)=0

poi però non riesco a trovare la circonferenza tangente all'asse x, cioè ad y=0

Ringrazio anticipatamente

Questa risposta è stata cambiata da TeM (12-04-14 23:35, 3 anni 5 mesi 11 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Innanzitutto consideriamo la circonferenza del fascio di diametro
[math]AB[/math]
.
Essa ha centro in
[math]C =\left(\frac{x_a + x_b}{2}, \; \frac{y_a + y_b}{2}\right) = (1, \; 2) [/math]
e raggio pari a
[math]R = \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{\sqrt{(- 2 - 4)^2 + (2 - 2)^2}}{2} = 3[/math]
. Quindi la propria equazione
cartesiana è
[math](x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2[/math]
in cui sviluppando i prodotti
e sommando i monomi simili porge
[math]x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0\\[/math]
.
Ora determiniamo l'equazione dell'asse radicale
[math]AB[/math]
(ossia di quella
retta che interseca in
[math]A[/math]
e in
[math]B[/math]
tutte le circonferenze del fascio) che
risulta essere :
[math]y - 2 = 0\\[/math]
.
Non rimane che combinarle linearmente tramite
[math]k \in \mathbb{R}[/math]
ottenendo l'equazione
cartesiana del fascio di circonferenze:
[math]\small x^2 + y^2 - 2x + (k - 4)y - 2(k + 2) = 0\\[/math]
.
Dopo qualche manipolazione si riesce a riscriverlo nella forma:
[math](x - 1)^2 + \left(y - \frac{4 - k}{2}\right)^2 = \frac{k^2 + 36}{4}[/math]
. Ebbene, per selezio-
nare tra quelle infinite circonferenze l'unica tangente con l'asse
delle ascisse è sufficiente imporre che la distanza del centro di
tale fascio dall'asse x sia pari al proprio raggio. In matematichese:
[math]\left|\frac{4-k}{2}\right| = \sqrt{\frac{k^2 + 36}{4}}[/math]
, equazione verificata per
[math]k = -\frac{5}{2}[/math]
.
Dunque, la circonferenza in esame ha equazione cartesiana:
[math](x - 1)^2 + \left(y - \frac{13}{4}\right)^2 = \left(\frac{13}{4}\right)^2\\[/math]
.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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