Cristoforo-
Cristoforo- - Eliminato - 1334 Punti
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Studia il fascio di parabole di equazione ax^2 + (1-4a)x-y-4=0 e individua i suoi punti base. Trova poi le equazioni delle due parabole del fascio y e y' che formano, ciascuna, con la retta del fascio un segmento parabolico di area 16/3. DImostra, infine, che le due parabole sono simmetriche rispetto a M, il punto medio del segmento che congiunge i puunti base.

Ho iniziato a fare il primo punto, ma non riesco a trovarmi i punti base.
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Scriviamo il fascio come

[math]y=ax^2+(1-4a)x-4[/math]

Osserviamo che
[math]a\not= 0[/math]
altrimenti si ha la retta
[math]y=x-4[/math]
. Inoltre, per
[math]a>0[/math]
la parabola volge la concavità verso l'alto e per
[math]a<0[/math]
verso il basso.
Due possibili parabole generatrici del fascio si ottengono per
[math]a=\pm 1[/math]
e risultano
[math]y=x^2-3x-4,\qquad y=-x^2+5x-4[/math]

Intersecandole si ottiene

[math]2x^2-8x=0[/math]

da cui i due punti base del fascio di coordinate

[math]A(0;-4),\qquad B(4;0)[/math]

Osserviamo anche che la retta
[math]y=x-4[/math]
passa per tali due punti. Pertanto il fascio è costituito da due coppie di famiglie di parabole distinte, una rivolta verso l'alto, l'altra verso il basso, con la retta trovata che si comporta quale asse radicale del fascio.

Per rispondere al secondo quesito, è necessario determinare l'equazione della retta parallela a quella data tangente alla generica parabola del fascio. Tale retta tangente ha equazione del tipo
[math]y=x+q[/math]
: mettendo a sistema con l'equazione del fascio si trova
[math]x+q=ax^2+(1-4a)x-4\ \Rightarrow\ ax^2-4ax-4-q=0[/math]

Imponendo che il discriminante sia nullo si trova

[math]16a^2-4a(-4-q)=0\ \Rightarrow\ q=-4a-4[/math]

Mentre il punto di intersezione tra retta tangente e parabola risulta

[math]x_T=\frac{4a}{2a}=2\ \Rightarrow\ T(2;-4a-2)[/math]

Per calcolare l'area del segmento parabolico, basta determinare l'area del rettangolo determinato da queste due rette e che abbia come base il segmento
[math]AB=4\sqrt{2}[/math]
. L'altezza di tale rettangolo si determina calcolando la distanza tra
[math]T[/math]
e la retta
[math]y=x-4\ \Rightarrow\ x-y-4=0[/math]
, che risulta
[math]h=\frac{|2+4a+2-4|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|4a|}{\sqrt{2}}[/math]

Pertanto l'area del rettangolo misura

[math]R=AB\cdot h=4|4a|[/math]

e quella del segmento parabolico

[math]S=\frac{2}{3} R=\frac{8|4a|}{3}=\frac{16}{3}\ \Rightarrow\ \\
|4a|=2\ \Rightarrow\ \begin{array}{l}
4a=2\ \Rightarrow\ a=1/2\\
4a=-2\ \Rightarrow\ a=-1/2
\end{array}[/math]

Pertanto le due parabole risultano

[math]y=\frac{1}{2} x^2-x-4,\qquad y=-\frac{1}{2} x^2+3x-4[/math]



Poiché le parabole hanno al stessa ampiezza, visto che il coefficiente del termine di secondo grado è, in modulo, lo stesso,basta verificare che i vertici delle due parabole siano simmetrici rispetto al punto medio descritto. Poiché i vertici sono
[math]V(1;-9/2),\quad V'(3;1/2)[/math]
e il loro punto medio risulta
[math]M(2;-2)[/math]
, essendo quest'ultimo coincidente con il punto medio del segmento di estremi
[math]A,B[/math]
abbiamo dimostrato quanto richiesto
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