Gnomo.98
Gnomo.98 - Habilis - 153 Punti
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Ciao a tutti! :hi Potreste aiutarmi con questo esercizio? Non riesco proprio a farlo! :cry Grazie mille in anticipo!!! :)
Un atleta prepara una scheda di allenamento in cui si prescrive di correre nella prima settimana 20 Km; in ciascuna delle seguenti settimane incrementerà il percorso del 10% rispetto alla settimana precedente; dopo quante settimane percorrerà per la prima volta più di 100 Km?
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Questa è una progressione geometrica in quanto ogni termine si ricava dal precedente moltiplicandolo per
[math]q=1+\frac{10}{100}=\frac{100+10}{100}=\frac{110}{100}=\frac{11}{10}\\[/math]
.
Cioè:
[math]a_0=20\\a_1=20\cdot \frac{11}{10}=22\\a_2=22\cdot \frac{11}{10}=(20\cdot \frac{11}{10})\cdot \frac{11}{10}=20\cdot (\frac{11}{10})^2\\a_3=20\cdot (\frac{11}{10})^3\\.....
\\.....\\a_n=20\cdot (\frac{11}{10})^{n}\\[/math]
,
Pertanto dobbiamo risolvere la seguente equazione:

[math]20\cdot (\frac{11}{10})^{n}=100\\[/math]
,

dove l'incognita "n" è all'esponente.
Dobbiamo quindi usare i logaritmi, che sono l'unica possibilità di "trasformare" un esponente in un coefficiente.
La scelta della base del logaritmo è teoricamente a nostra discrezione, ma in questo caso avendo un "10" al denominatore è più comodo usare i logaritmi in base 10 (normalmente indicati con "Log" senza bisogno di indicare la base 10).
In altre parole:
[math]log_{10}\ si\ scrive\ Log\\[/math]
.
Quindi:
[math]20\cdot (\frac{11}{10})^{n}=100\\diventa:\\(\frac{11}{10})^{n}=5\\Log(\frac{11}{10})^{n}=Log5\\n\cdot Log(\frac{11}{10})=Log5\\n\cdot (Log11-Log10)=Log5\\poichè:\\Log10=1\\n(Log11-1)=Log5\\n=\frac{Log5}{Log11\ -1}\simeq 17\\[/math]
,
Ho messo "circa" 17 perché a seconda dell'approssimazione usata viene un valore compreso tra 16,88 e 17,043, però moltiplicando 20 per 1,1 DICIASSETTE VOLTE mi viene 101,09
Quindi:
la prima settimana percorre 20 Km;
poi aumenta la distanza per 17 volte nelle successive 17 settimane;
la 18° settimana percorrerà 101,09 Km
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