samue23
samue23 - Erectus - 52 Punti
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Mi aiutate a svolgere il 232? Perfavore..grazie

Questa risposta è stata cambiata da TeM (27-12-15 12:35, 1 anno 8 mesi 27 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Posto
[math]a \in \mathbb{R}[/math]
, sia dato il fascio di parabole di equazione
cartesiana
[math]y = a\,x^2 + \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)x +\left( 10\,a - \frac{4}{3} \right)\\[/math]
.

a. Ponendo
[math]a = 0[/math]
si ottiene
[math]y = \frac{2}{3}\,x - \frac{4}{3}[/math]
(parabola degenere) e ponendo
[math]a = 1[/math]
si ottiene
[math]y = x^2 -\frac{19}{3}\,x + \frac{26}{3}[/math]
. Ottenute le equazioni di due para-
bole qualsiasi del fascio, intersecandole si ottengono le coordinate dei due punti
base:
[math]\begin{cases}y = \frac{2}{3}\,x - \frac{4}{3} \\ y = x^2 -\frac{19}{3}\,x + \frac{26}{3}\end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; (x,\,y) = (2,\,0) \, \vee \, (x,\,y) = (5,\,2)\\[/math]
.

b. L'ascissa dei vertici delle parabole del fascio è pari a
[math]x = -\frac{\frac{2}{3}-7\,a}{2\,a}[/math]
,
da cui
[math]a = \frac{2}{3\,(7 - 2\,x)}[/math]
. D'altro canto, l'ordinata dei vertici delle parabole
del fascio è pari a
[math]y = \frac{4\,a\left(10\,a - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)^2}{4\,a}[/math]
, ove sostituendo al posto
di
[math]a[/math]
l'espressione dipendente da
[math]x[/math]
si ottiene l'equazione cartesiana del
luogo dei vertici desiderato:
[math]y = \frac{2\,(x - 7)^2}{3\,(2\,x - 7)}\\[/math]
.

c. Dal punto precedente sappiamo che l'ascissa dei vertici delle para-
bole del fascio è pari a
[math]x = -\frac{\frac{2}{3}-7\,a}{2\,a}[/math]
, mentre l'ordinata è pari a
[math]y = \frac{4\,a\left(10\,a - \frac{4}{3}\right) - \left(\frac{2}{3} - 7\,a\right)^2}{4\,a}[/math]
. Ebbene, sostituendo tali coordinate
nell'equazione
[math]3\,y - 10\,x + 32 = 0[/math]
e semplificando si ottiene
[math]\frac{3}{a} - \frac{27}{4}\,a = 0[/math]
, equazione verificata se e soltanto se
[math]a = \pm \frac{2}{3}[/math]
,
valori da assegnare al parametro
[math]a[/math]
affinché i vertici delle parabole
del fascio assegnato appartengano a tale retta.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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