TheFlash
TheFlash - Erectus - 60 Punti
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Ciao, avrei bisogno di nuovo del vostro aiuto. Innanzitutto ho un grosso problema non so quando le annualità sono anticipate o posticipate.
L'esercizio è il seguente:

Il Signor Bianchi versa annualmente presso una banca € 2500 per 15 anni. Quanto tempo dopo l'ultimo versamento potrà disporre di un montante di € 55.000, se il tasso applicato è del 4,32% ?
Matefisico
Matefisico - Sapiens Sapiens - 830 Punti
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Il fatto che le annualità siano anticipate o posticipate deve essere specificato nel testo, comunque prova a risolverlo in entrambi i casi e confronta i risultati con la soluzione; se non sai come fare chiedi pure ;)
nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ciao,
non avendo mai fatto matematica finanziaria, non so bene come funzioni. Se è sufficiente dividere gli interessi annuali per 365 per trovare quelli giornalieri, si può risolvere il problema in un paio di modi. Il primo, passaggio per passaggio, con un po' di logica; il secondo con un'equazione.

Cominciamo con lo scrivere i dati:

[math]
M = 55\ 000,00\ \mathrm{€} \\
R = 2\ 500\ \mathrm{€} \\
n = 15 \\
r = 0,0432 \\
q = 1,0432 \\
[/math]


Metodo 1

Penso che l'annualità sia sempre posticipata, perché il signor Bianchi versa 2 500 euro e alla fine dell'anno gli danno gli interessi.

La formula, quindi, è la solita:

[math]
M_{15} = \frac{R(q^n-1)}{r}q \\
M_{15} = \frac{2\ 500\ \mathrm{€} \cdot (1,0432^{15}-1)}{0,0432} \cdot 1,0432 = 53\ 480,80\ \mathrm{€} \\
[/math]


Dopo sedici anni avrebbe:

[math]
M_{16} = M_{15} \cdot q \\
M_{16} = 53\ 480,80\ \mathrm{€} \cdot 1,0432 = 55\ 791,18\ \mathrm{€} \\
[/math]


Nell'ultimo anno gli interessi sono:

[math]
I_a = M_{16} - M \\
I_a = 55\ 791,18\ \mathrm{€} - 55\ 000,00\ \mathrm{€} = 2\ 310,37\ \mathrm{€} \\
[/math]


Ogni giorno sono:

[math]I_g= \frac{I_a}{365} \\
I_g= \frac{2\ 310,37\ \mathrm{€}}{365} = 6,33\ \mathrm{€} \\
[/math]


Mentre noi vogliamo sapere dopo quanti giorni avrà 55 000 €, quindi:

[math]
I = M - M_{15} = 55\ 000,00\ \mathrm{€} - 53\ 480,80\ \mathrm{€} = 1\ 519,20\ \mathrm{€} \\

g = \frac{I}{I_g} \\
g = \frac{1\ 519,20\ \mathrm{€}}{6,33\ \mathrm{€}} = 240 \\
[/math]


Quindi avrà guadagnato 55 000 euro dopo 15 anni e 240 giorni.


Metodo 2

[math]
M=\frac{R(q^n-1)}{r} \cdot q^{\frac{x}{365}+1} \\
q^{\frac{x}{365}+1} = \frac{Mr}{R(q^n-1)} \\
\frac{x}{365}+1 = \log_q \frac{Mr}{R(q^n-1)} \\
x = 365 \cdot (\log_q \frac{Mr}{R(q^n-1)} - 1) \\
x = 365 \cdot (\log_{1,0432} \frac{55\ 000,00\ \mathrm{€} \cdot 0,0432}{2\ 500\ \mathrm{€} \cdot (1,0432^{15}-1)} - 1) = 242 \\
[/math]

Il montante sarà quindi di 55 000 euro dopo 15 anni e 242 giorni.
I valori sono leggermente diversi per via degli arrotondamenti. Quest'ultimo è un calcolo tutto in un'unica equazione, quindi dovrebbe essere più preciso.
Spero possa esserti d'aiuto. :)
Ciao
Matefisico
Matefisico - Sapiens Sapiens - 830 Punti
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Scusa se ti correggo ma l'esercizio non va svolto così...purtoppo la matematica finanziaria non può andare solamente a logica.

Innanzitutto il regime di interesse quando non è specificato si intende composto, ciò implica che non si possa dividere l'interesse annuo per 365 per trovare l'interesse giornaliero...

Ecco la soluzione dell'esercizio
nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ecco, infatti era il mio dubbio di partenza che avevo scritto nella premessa. Non tenete conto quindi del mio svolgimento.
Grazie dell'aiuto! :)

Aggiunto 41 minuti più tardi:

Scusa Matefisico,
non voglio contraddirti, anche perché tu sei sicuramente più esperto di me in materia. :)
A questo punto, però, sono curioso di capire il problema.
Ho guardato le tue formule ma non mi torna il montante dopo 15 anni.
Dopo 15 anni e 15 versamenti, il montante dovrebbe essere di 53 480,80 €, non di 51 266,11.
Ho provato a creare anche un foglio di calcolo nel seguente modo:

Primo versamento: 2500 €
Dopo 1 anno: 2608 €

Secondo versamento: 2500 €
Dopo 2 anni: 5328,67 €
...
Dopo 15 versamenti e 15 anni di interessi, il montante viene:
53480,80 €

In quel modo verrebbe lo stesso risultato sia a te che a me.
Infatti la formula che hai usato:

[math]t = \log_q \frac{M}{P} \\[/math]


è equivalente alla mia. Infatti ho solo sostituito P a M_15.
Non volendo calcolare gli anni, poi ho posto x come giorni evitando di dover fare la conversione dopo.
Matefisico
Matefisico - Sapiens Sapiens - 830 Punti
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53480,80 € è il montante di (2500€ all'anno per 15 anni) + un anno.

dopo l'ultimo versamento (quindi in 15 anni) avrà accumulato 51266€, nella tua formula hai calcolato la capitalizzazione di un ulteriore anno (moltiplicando per q il momtante accumulato in 15 anni)

Se usi Excel prova questa funzione:

=VAL.FUT(4,32%;15;-2500; )

Ti darà direttamente il montante dopo 15 anni di versamenti
nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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OK, tutto chiaro. Ora so un po' di più di matematica finanziaria. :)
Grazie!
Matefisico
Matefisico - Sapiens Sapiens - 830 Punti
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Di niente ;)
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