rosva1
rosva1 - Erectus - 72 Punti
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Non so svolgere questi esercizi...qualcuno potrebbe aiutarmi?
mc2
mc2 - Genius - 14841 Punti
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Sono esercizi sulla definizione di limite.


Primo esercizio


Definiamo
[math]f(x)=2x^3-3x^2+4x+8[/math]


Ora calcoliamo
[math]f(2+L)[/math]
:

[math]f(2+L)=2(2+L)^3-3(2+L)^2+4(2+L)+8=2L^3+9L^2+16L+20[/math]


Vogliamo trovare un numero
[math]L>0[/math]
tale che per ogni
[math]x<(2+L)[/math]
si abbia
[math]f(2+L)<21[/math]


Innanzi tutto osserviamo che se scegliamo
[math]L=\frac{1}{20}[/math]
si ha:
[math]f(2+L)=f(2+\frac{1}{20})=f(\frac{41}{20})\simeq 20,8<21[/math]

inoltre sappiamo che
[math]z<\frac{1}{20}[/math]
implica anche che
[math]z^3<\frac{1}{20^3}[/math]
e
[math]z^2<\frac{1}{20^2}[/math]
,
per cui

[math]f(2+z)=2z^3+9z^2+16z+20< 2\frac{1}{20^3}+9\frac{1}{20^2}+\frac{16}{20}+20=f(2+L)\simeq 20,8<21[/math]


quindi abbiamo dimostrato che ogni numero
[math]x < 2+\frac{1}{20}[/math]
soddisfa la condizione
[math]f(x)<21[/math]


Per la seconda disuguaglianza calcoliamo
[math]f(2-L)[/math]
:

[math]f(2-L)=2(2-L)^3-3(2-L)^2+4(2-L)+8=-2L^3+9L^2-16L+20[/math]


Vogliamo trovare un numero
[math]L>0[/math]
tale che per ogni
[math]x>(2-L)[/math]
si abbia
[math]f(2-L)>19[/math]
cioe`
[math]-2L^3+9L^2-16L>-1[/math]


qui la complicazione nasce dai segni diversi davanti ai vari termini, ma ce la caviamo cercando dei valori di L tali che la somma
[math]9L^2-16L[/math]
sia positiva, cioe`
[math]9L^2-16L>0[/math]
ossia
[math]0<L<\frac{16}{9}[/math]

quindi dovremo considerare dei valori di L positivi (ma questo era richiesto fin dall'inizio!) e minori di
[math]\frac{16}{9}[/math]
.
Suppondendo di restare quindi entro questi valori, abbiamo

[math]-2L^3+9L^2-16L= -2L^3+(9L^2-16L) >-2L^3 [/math]

(questo passaggio forse ti sembrera` strano, ma e` una cosa ovvia: se so che
[math]-9L^2+16L[/math]
, allora sottraendo questo numero ad un numero qualsiasi e` ovvio che ottengo un altro numero minore del primo! Detto in modo piu` semplice: se so che B>0 allora e` ovvio che A+B>A)

Ora, osservo che se scelgo
[math]L=\frac{1}{20}[/math]
ho che
[math]-2L^3=-\frac{2}{20^3}=-0,00025[/math]
che e` maggiore di -1.

Ma allora per ogni altro numero
[math]z<\frac{1}{20}[/math]
vale che
[math]-2z^3>-2L^3=-\frac{2}{20^3}=-0,00025>-1[/math]


Vediamo cosa implica questo per la funzione f(x). Poniamo x=2-z, avendo pero` in mente che z e` positivo e minore di
[math]\frac{1}{20}[/math]


Allora:


[math]f(x-z)=-2z^3+9z^2-16z+20>-2z^3+20[/math]
dato che abbiamo gia` dimostrato che
[math]9z^2-16z>0[/math]
se z<16/9
quindi

[math]f(x-z)=-2z^3+9z^2-16z+20>-2z^3+20>-1+20=19[/math]


Abbiamo quindi trovato che se scegliamo un numero
[math]x>2-\frac{1}{20}[/math]
si ha


[math]f(x)>19[/math]


Riassumendo, se scelgo x tale che

[math]2-\frac{1}{20}<x<2+\frac{1}{20}[/math]

allora ho che, sicuramente,:

[math]19<f(x)<20[/math]

Quindi un numero che soddisfa la richiesta del problema e`
[math]L=\frac{1}{20}[/math]
rosva1
rosva1 - Erectus - 72 Punti
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Chiedo scusa...in prima la ringrazio per il lavoro che ha fatto per me...solo che, nel secondo esercizio non ho capito perché e^x/x = e^(x-1)
mc2
mc2 - Genius - 14841 Punti
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Scusa, ho sbagliato i calcoli nel secondo esercizio (meno male che erano piu` facili!). Abbi pazienza un momento e li aggiusto.

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Per il momento l'unico modo che ho trovato e` utilizzando le derivate.

Le hai gia` studiate?

Se si`, allora puoi fare cosi`:

[math]\frac{e^x}{\log x}>\frac{e^x}{x}[/math]

Definiamo la funzione f(x):

[math]f(x)=\frac{e^x}{x}[/math]

e calcoliamo la sua derivata:

[math]f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}[/math]

si vede facilmente che la derivata e` positiva per x>1, quindi f(x) e` crescente per x>1.

Basta ora trovare un valore L tale che
[math]f(L)=\frac{e^L}{L}>100[/math]
e si puo` procedere per tentativi. Ad esempio si trova che per L=7:
[math]f(7)=\frac{e^7}{7}\simeq 156.7>100[/math]

e quindi per ogni valore x>7 si ha :

[math]f(x)>f(7)>100[/math]
, perche` abbiamo appena dimostrato che f e` crescente.

In conclusione abbiamo che per ogni x>7:

[math]\frac{e^x}{\log x}>\frac{e^x}{x}>\frac{e^7}{7}>100[/math]

quindi un numero L che soddisfa le richieste e` L=7
rosva1
rosva1 - Erectus - 72 Punti
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Grazie grazie grazie...1000 volte grazie...
mc2
mc2 - Genius - 14841 Punti
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Se avessi saputo che avevi gia` studiato le derivate le avrei usate anche per il primo esercizio! sarebbe stato molto piu` veloce!

Vabbe', te lo lascio come esercizio ;)
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