Nell'equazione x^2 - 4mx + m^2 - 1 = 0 determina per quali valori di m:
a) ci sono radici reali
b) le radici sono entrambe positive
c) le radici sono entrambe negative
grazie mille in anticipo
- Matematica - Superiori
-
esercizio di algebra
Nell'equazione da te proposta abbiamo
per i coefficienti. Il discriminante dell'equazione è allora
Dal momento che
Ora sappaimo che, dette
Per il quesito b), le radici sono entrambe positive se e solo se la loro somma e il loro prodotto sono entrambi positivi, ciò vuol dire che
da cui
e quindi, mettendo a sistema le soluzioni,
Per il quesito c), invece, dobbiamo ancora avere il prodotto positivo, ma la somma deve essere negativa, e quindi
da cui
e quindi, mettendo a sistema le soluzioni,
Ecco fatto!
[math]a=1, b=-4m, c=m^2-1[/math]
per i coefficienti. Il discriminante dell'equazione è allora
[math]\Delta=b^2-4ac=16m^2-4m^2+4=12m^2+4=4(3m^2+1)[/math]
Dal momento che
[math]\Delta>0[/math]
per ogni valore di
[math]m[/math]
, l'equazione ha sempre due radici reali distinte.Ora sappaimo che, dette
[math]x_1<x_2[/math]
le due radici,[math]\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-b/a=4m\\
x_1\cdot x_2=c/a=m^2-1
\end{array}\right.[/math]
x_1+x_2=-b/a=4m\\
x_1\cdot x_2=c/a=m^2-1
\end{array}\right.[/math]
Per il quesito b), le radici sono entrambe positive se e solo se la loro somma e il loro prodotto sono entrambi positivi, ciò vuol dire che
[math]\left\{\begin{array}{l}
4m>0\\
m^2-1>0
\end{array}\right.[/math]
4m>0\\
m^2-1>0
\end{array}\right.[/math]
da cui
[math]\left\{\begin{array}{l}
m>0\\
m<-1, m>1
\end{array}\right.[/math]
m>0\\
m<-1, m>1
\end{array}\right.[/math]
e quindi, mettendo a sistema le soluzioni,
[math]m>1[/math]
.Per il quesito c), invece, dobbiamo ancora avere il prodotto positivo, ma la somma deve essere negativa, e quindi
[math]\left\{\begin{array}{l}
4m<0\\
m^2-1>0
\end{array}\right.[/math]
4m<0\\
m^2-1>0
\end{array}\right.[/math]
da cui
[math]\left\{\begin{array}{l}
m<0\\
m<-1, m>1
\end{array}\right.[/math]
m<0\\
m<-1, m>1
\end{array}\right.[/math]
e quindi, mettendo a sistema le soluzioni,
[math]m<-1[/math]
.Ecco fatto!
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