indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Se f è la funzione che associa a ogni circonferenza del piano il suo centro, f è inietttiva? è suriettiva? io direi suriettiva , ma nn sò cm spiegarlo


sia c una circonferenza e A l'insieme delle rette dello stesso piano. La funzione che associa a ogni punto di c la retta tangente in quel punto alla circonferenza è iniettiva? è suriettiva? penso ke sia suriettiva

potetedarmi qualke spiegazione? grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Allora, inanzitutto diamo una definizione precisa di funzione suriettiva e iniettiva.

Sia
[math]f:A\rightarrow B[/math]
una funzione.
[math]f[/math]
si dice
iniettiva se, per ogni coppia
[math]x_1\neq x_2[/math]
si ha
[math]f(x_1)\neq f(x_2)[/math]

suriettiva se per ogni
[math]y\in B[/math]
esiste una
[math]x\in A[/math]
tale che
[math]f(x)=y[/math]

In praticca l'iniettività implica che a valori diversi di x corrispondano valori diversi di y, mentre la suriettività che ad ogni y nel codominio (lo spazio di arrivo) corrisponda almeno una x nel dominio 8lo spazio di partenza.

Detto questo analizziamo i due casi.

1) Sia
[math]S[/math]
l'insieme delle circonferenze nel piano. La prima funzione è
[math]f:S\rightarrow\mathbf{R}[/math]
definita come
[math]f(s)=C_s[/math]
dove
[math]s[/math]
è una generica circonferenza e
[math]C_s[/math]
è il suo centro.
Ovviamente tale funzione non può essere iniettiva, in quanto se prendi due circonferenze concentriche con raggi diversi, chiamiamole
[math]s_1,s_2[/math]
allora
[math]C_{s_1}=C_{s_2}[/math]
e quindi
[math]f(s_1)=f(s_2)[/math]
.
La funzione invece è suriettiva, infatti se prendi un qualsiasi punto
[math]C[/math]
nel piano puoi associare ad esse infinite circonferenze, ad esempio quella di raggio 1, e quindi per ogni punto nel piano esiste una circonferenza in
[math]S[/math]


2) La seconda funzione è la funzione
[math]f:c\rightarrow A[/math]

[math]f(p)=r_p[/math]
dove
[math]p[/math]
è un punto della circonferenza e
[math]r_p[/math]
la retta tangente in quel punto alla circonferenza. La funzione risulta iniettiva, perché in ogni punto c'è una sola retta tangente alla circonferenza, mentre non è suriettiva, in quanto in
[math]A[/math]
ci sono, oltre alle rette tangenti la circonferenza, anche tutte le altre rette del piano.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Se hai domande, fammi sapere.
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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grazie mille ciampax sei stato molto bravo a spiegare l'ho capito ciao
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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Di niente! Allora chiudo!
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