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-selena- - Genius - 4987 Punti
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Ciao ...potete aiutarmi a risolvere questi problemi? grazie
1) Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi passante per il punto (-2;6). Determinare i fuochi della curva e verificare che la retta di equazione x+3y-16=0 è tangente alla parabola;determinare il punto di tangenza.

2)Scrivere l'eqauzione della parabola avente per asse l'asse delle ascisse,il vertice nel punto (-3;0) e passante per (0;2). Scrivere poi l'equazione della circonferenza avente il centro nell'origine degli assi e passante per i vertici della parabola. Determinare le coordinate dei punti d'intersezione delle due curve e la misura dell'area del triangolo avente questi come vertici.

3)Stabilire per quali valori di a l'equazione

[math](a^2-3a+2)x^2+(2a^2+a-3)y^2-4 (3a+1)x+12(a-2)y+ 56/3=0[/math]
rappresenta
1)una circonferenza di cui si misura la misura del raggio
2)una retta
3)una parabola con asse parallelo all'asse delle x o coincidente con esso

Si determinino il fuoco dell parabola e la misura della corda intercettata dalla parabola sulla retta di cui al punto 2.

Grazie 1000 :) :D

Aggiunto 55 minuti più tardi:

1)Allora come equazione mi viene x^2-y^2 =-32 e riporta..ma non riporta il fuoco (o; a*rad2) quindi (o; -32 x rad2) ma non riporta!! dovrebbe essere (o;8)

Poi per verificare la condizione di tangenza devo mettere le due eqauzioni a sistema e poi verificare delta=0 però il sistema viene impossibile..!! e invece per i punti di tangenza devo svolgere il sistema che però ,come ho detto, viene impossibile!

Grazie per la disponibilità!

Aggiunto 2 ore 45 minuti più tardi:

Grazie! riguardo al secondo esercizio
allora in primis la parabola è del tipo x=ay^2 +by+c
faccio il sistema tra vertice e il passaggio per il punto A
-b/2a=0
- delta/4a=-3
2=c

giusto?

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Comunque sul mio libro la formula per trovare il fuoco di una iperbole equilatera è F( a*rad2,0) o (0; a*rad2)...però con questa formula in effetti non riporta..mentre utilizzando la formula che vale per l'iperbole in generale riporta...

Aggiunto 18 minuti più tardi:

Invece per quanto riguarda il 3°ESERCIZIO
affichè sia una circonferenza

[math](a^2-3a+2)=(2a^2+a-3)[/math]
e viene a=-5 o a=1 ma come faccio a trovare il raggio?
Aggiunto 1 ore 14 minuti più tardi:

Allora sostituendo all'equazione a=1 viene 16x+12y-56/3=0 e quindi il raggio dovrebbe essere
rad(64+36+ 56/3) ma viene rad 356

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Grazie!! per quando riguarda la retta invece devo porre

[math]a^2-3a+2=0 e 2a^2+a-3=0 [/math]
facendo il sistema?
le soluzioni della prima sono a=2 e a=1 mentre della seconda a=-3/2 e a=1
(già dall'esercizio di prima so che è una retta se a=1)..però perchè dovrei scartare anche le altre soluzioni?

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Lo stesso per la parabola che deve essere del tipo x=ay^2+by+c quindi devo imporre a^2-3a+2=0 e a-2=0
la prima ha soluzioni a=2 a=1
la seconda a=2
quindi?
e poi come faccio a trovare la misura della corda intercettata dalla parabola sulla retta di cui al punto 2?
grazie 1000

Aggiunto 23 minuti più tardi:

Poi riguardo a questo esercizio:
2)Scrivere l'eqauzione della parabola avente per asse l'asse delle ascisse,il vertice nel punto (-3;0) e passante per (0;2). Scrivere poi l'equazione della circonferenza avente il centro nell'origine degli assi e passante per i vertici della parabola. Determinare le coordinate dei punti d'intersezione delle due curve e la misura dell'area del triangolo avente questi come vertici.

La parabola viene b=0 c=4a e b^2-4ac/4a=3
quindi viene a=0 o a=-3/4 ( a=0 devo scartarlo ??)
e quindi l'equazione è
x=-3/4y^2-3
anche se sul libro è x=3/4y^2 -3 ma credo ci sia un errore di stampa anche perchè altrimenti non mi verrebbe c=-3 no??

Aggiunto 1 ore 51 minuti più tardi:

Grazie!
Grazie però per a=1 viene una retta non una parabola..quindi non posso accettarlo!! Giusto?

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Mentre facendo intersezione tra retta e parabola mi vengono due soluzione:
y=-2 quindi x=5/3
y=-1 quindi x=11/12
sul libro non c'è la soluzione..è giusto? grazie!! e poi la distanza??

Aggiunto 39 minuti più tardi:

Grazie! la corda mi viene rad7/4...possibile?

Aggiunto 18 minuti più tardi:

Poi per quanto riguarda il 2) ho trovato la parabola che è x=3/4y^2-3 e la circonferenza x^2+y^2-9=0 però ora devo trovare i punti di intersezione e mi viene un sistema e mi viene y^4 ecc quindi non so risolverlo!! e poi l'area come faccio a trovarla!!

Grazie ancora e scusa tanto il disturbo!

Aggiunto 13 ore 14 minuti più tardi:

Grazie! mentre dell'eserzio 3)
per trovare la misura della corda intercettata dalla parabola sulla retta di cui al punto 2 , devo fare il sistema tra retta e parabola che però non mi riporta! potresti aiutarmi per favore? grazie :D

Aggiunto 42 minuti più tardi:

[math]x=1/4y^2+2/3[/math]

[math]-16x-12y+56/3=0[/math]

Aggiunto 1 ore 28 minuti più tardi:

mmh si perchè è la retta dell'esercizio 3)
l'equazione rappresenta una retta per a=1
e sostituendo questo valore all'equazione viene quella retta!! comunque ho ricontrollato ed è +56/3..ho rifatto più volte i conti e anche a me viene rad17!!!!

Aggiunto 4 ore 12 minuti più tardi:

Poi riguardo all'esercizio 2) come faccio a trovare l'area del triangolo? grazie

Aggiunto 22 ore 42 minuti più tardi:

Grazie 1000 :)

BIT5
BIT5 - Mito - 28576 Punti
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Ma cosa non riesci a fare?

partiamo dal primo... dimmi cosa non ti e' chiaro

Aggiunto 1 ore 23 minuti più tardi:

[math] x^2-y^2=-32 [/math]

Ovvero
[math] \frac{x^2}{32}- \frac{y^2}{32}=-1 [/math]

l'iperbole interseca l'asse y perche' della forma x^2/a^2-y^2/b^2=-1

E' equilatera perche' a^2=b^2

Le ORDINATE dei fuochi saranno

[math] c= \sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{32+32}= \sqrt{64}= \pm8 [/math]

.

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Per verificare la tangenza, metti a sistema iperbole e retta.

Se la retta e' tangente, troverai due punti coincidenti.

Vediamo

[math] \{x^2-y^2=32 \\ x+3y-16=0 [/math]

E quindi la seconda e' x=16-3y sostituisci alla prima e ottieni
[math] (16-3y)^2-y^2=-32 \to 256-96y+9y^2-y^2=-32\\ \to 8y^2-96y+288=0 \to y^2-12y+36=0 [/math]

Con la ridotta
[math] y= 6 \pm \sqrt{36-36} [/math]
che come vedi sono due punti con stessa ordinata e pertanto coincidenti, rappresentativi della condizione di tangenza.
Se avessi trovato due soluzioni la retta era secante.
Un sistema impossibile ti avrebbe dimostrato l'estraneita' della retta all'iperbole (esterna)

Aggiunto 2 ore 43 minuti più tardi:

Perchè non viene con la formula?

considera

[math] a^2=32 [/math]

Quindi
[math] a= \sqrt{32}= \sqrt{4^2 \cdot 2}=4 \sqrt2 [/math]

E quindi il fuoco e'
[math] 4 \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 4 \sqrt{2^2}= 4 \cdot 2 = 8 [/math]

Per la parabola e' giusto :) Continua su quella strada che e' corretto

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Per la circonferenza...
Sostituisci all'equazioni prima un valore di a, poi l'altro.
E poi ricavi il raggio.

Oppure ti calcoli il raggio generico in funzione di a.

E poi sostituisci ad a i valori trovati

e trovi i raggi

Aggiunto 18 ore 8 minuti più tardi:

I valori che hai trovato sono corretti, ma considera che i coefficienti di x^2 e y^2, oltre ad essere uguali, devono essere diversi da zero.

Pertanto a=1 che rende i coefficienti uguali, non e' accettabile, in quanto li annulla rendendo di fatto la circonferenza degenere in una retta.

Quindi dovrai fare l'esercizio con a=-5, ottenendo

[math] 42x^2+42y^2+56x-84y+ \frac{56}{3} = 0 [/math]

Riscriviamola in forma canonica, dividendo tutto per 42
[math] x^2+y^2+ \frac43x-2y+ \frac{4}{9} = 0 [/math]

che ha raggio
[math] r= \sqrt{ \( \frac23 \)^2+1^2- \frac{4}{9}} [/math]

ovvero
[math] r= \sqrt{ \frac{4}{9} + 1 - \frac{4}{9} } =1 [/math]

.

Aggiunto 6 ore 2 minuti più tardi:

Siccome per essere una retta devono annullarsi ENTRAMBI i coefficienti di x^2 e y^2 devi prendere l'unico valore che annulla entrambi, ovvero a=1

Gli altri trovati annullano solo uno dei due, lasciando il termine di secondo grado (rispettivamente y^2 nel primo caso e x^2 nel secondo) e pertanto non puoi accettarli (sostituendo, infastti, non rimane una retta).

Per la parabola: perche' a-2=0 ??

Cosi' facendo scompare la y, e ti rimane

[math] ax^2+c=y [/math]
(che e' una parabola, ok, ma e' il caso particolare in cui la parabola ha asse coincidente con l'asse x)
Devi solo porre a^2-3a+2=0 che ha soluzioni come hai detto tu per a=2 e a=1

Le parabole trovate sono due, quindi.

Poi per trovare quella con asse coincidente con l'asse x, allora dovrai porre ANCHE a-2=0 che ha soluzione per a=2

Quindi per a=2 e a=1 hai due parabole, ma solo per a=2 hai una parabola che anche ha l'asse coincidente con l'asse x.

Per trovare la lunghezza della corda, trovi i punti di intersezione tra parabola e retta e poi calcoli la distanza tra due punti.

Per l'ultimo punto

avrai

[math] - \frac{\Delta}{4a}=-3 \to \frac{b^2-4ac}{4a}=3 \to -c=3 \to c=- 3[/math]

E siccome 4a+c=0 avrai 4a=-c e quindi 4a=3 da cui a=3/4

Aggiunto 1 ore 13 minuti più tardi:

La lunghezza della corda la trovi con la formula della distanza tra due punti (ovvero l'applicazione del teorema di Pitagora)

[math] d= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

Per verificare che i punti siano giusti, invece, sostituisci alla parabola le y trovate e controlli che le x conseguenti siano le stesse che ricavi sostituendo gli stessi valori di y alla retta ;)

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Comunque si, per a=1 e' una retta, pertanto non puoi accettarlo

Aggiunto 12 ore 43 minuti più tardi:

Dal momento che hai una circonferenza (con x e y al quadrato) e una parabola (con y al quadrato, mentre x si presenta con grado massimo 1)puoi:

Sostituire il valore di x alla circonferenza, e allora avrai un'equazione di quarto grado. Questo e' normale, devi trovare l'intersezione tra due curve che al massimo avranno 4 punti di intersezione.

Siccome pero' ti manca il termine in x di secondo grado della parabola, allora puoi, per velocizzare i conti:

riscrivere la parabola come:

[math] x= \frac34y^2-3 \to y^2= \frac43x+4 [/math]

a quel punto nella circonferenza sostituisci ad y^2 il valore trovato e avrai
[math] x^2+ \( \frac43 x +4 \)-9=0 \to 3x^2+4x-15=0 [/math]

Che ha soluzioni per
[math] x_1= \frac53 [/math]
e
[math] x=-3 [/math]

Sostituendo ora il valore trovato alla parabola (o alla circonferenza, come preferisci, dal momento che i punti sono di intersezione e quindi appartengono a entrambe le curve) avrai:

per x=5/3

[math] y^2= \frac{56}{9} \to y= \pm \sqrt{ \frac{56}{9}} \to y= \pm \frac23 \sqrt{14} [/math]
(razionalizzato)
Pertanto due punti di intersezione saranno:
[math] A \( \frac53 , + \frac23 \sqrt{14} \) [/math]

[math] B \( \frac53 , - \frac23 \sqrt{14} \) [/math]

Mentre per x=-3 ottieni
[math] y^2=0 \to y=0 [/math]

e pertanto gli altri 2 punti saranno
[math] C (-3,0) [/math]

[math] D(-3,0) [/math]

(ovvero due punti coincidenti, e pertanto le curve sono tangenti in (-3,0)

(non ti scusare per il disturbo, comunque, certo, la tua richiesta e' stata MOLTO MOLTO vasta, ma dimostri la volonta' di capire, e questo per noi e' molto positivo. Credimi che si risponde molto piu' volentieri ad una richiesta chilometrica come la tua, ma di chi vuole capire, che ad un 3d dove magari ci sono 2 esercizi veloci, ma postati da chi vuole solo la soluzione senza voglia di capire e solo per evitare i compiti ;) )

Aggiunto 57 minuti più tardi:

Mi scrivi retta e parabola per favore?

Aggiunto 1 ore 52 minuti più tardi:

[math] \{ x= \frac14 y^2 + \frac23 \\ -16x-12y+ \frac{56}{3} = 0 [/math]

Dopo aver cambiato tutti i segni alla seconda (per comodita'), sostituendo la prima nella seconda avremo
[math] 16 \( \frac14y^2+ \frac23 \)+ 12y - \frac{56}{3} = 0 [/math]

e dunque
[math] 4y^2+ \frac{32}{3} + 12y- \frac{56}{3} = 0 \\ 4y^2+12y-8=0 \\ y^2+3y-2=0 \\ y= \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} [/math]

Vengono dei numeri orrendi pero'..

Eppure ho ricontrollato tutto.

sicura che sia +56/3 e non -56/3 ?

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Per l'area del triangolo l'iter da seguire e' questo:

Sai che l'area del triangolo e' base x altezza : 2

Hai 3 vertici.

La base e' la distanza tra 2 di questi vertici.

Per trovare l'altezza, dovrai calcolare l'equazione della retta passante per i 2 vertici che hai scelto come base.

A questo punto calcoli l'altezza, che altro non e' che la distanza tra il terzo vertice e la retta.

Per riepilogarti la teoria, ti ricordo:

la distanza tra due punti e':

[math] \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/math]

Mentre per trovare la distanza tra un punto e una retta devi:

scrivere l'equazione della retta nella forma implicita:

[math] ax+by+c=0 [/math]

A questo punto calcoli la distanza che e':
[math] d= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

Dove x0 e y0 sono le coordinate del punto mentre a,b,c i coefficienti della retta
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