server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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Calcolare le lunghezze degli archi delle seguenti curve nell'intervallo asseganto:
[math] y = \sqrt{x^3} \qquad 0 \le \ x \le \ 4[/math]
[math] y = 1 - ln cosx \qquad 0 \le\ x \le\ \frac{\pi}{4}[/math]

P.S. Ho iniziato a farlo e ho calcolato la derivata prima; poi applico la formula
[math]l = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2}\, dx [/math]
ma non riesco a risolvere.
Grazie
issima90
issima90 - Genius - 18667 Punti
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servono gli integrali?
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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si, gli esercizi riguardono proprio questa formula con l'integrale
issima90
issima90 - Genius - 18667 Punti
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ah allora nn li ho ancora fatti..arriverà qualcun altro..mi spiace!
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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[math]\int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2}\, dx [/math]
Portiamo a esponente quella radice ottenendo:
[math]\int_{0}^{4} \left( 1+\left(\frac{1}{2(\sqrt{x^3}(3x^2)}\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}}\;dx[/math]
Svolgiamo il quadrato ottenendo:
[math]\int_{0}^{4} \left( 1+ \frac{1}{36x^7} \right)^{\frac{1}{2}}\; dx[/math]
Portiamo a numeratore:
[math]\int_{0}^{4} \left( 1+\frac{x^{-7}}{36} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]
Denominatore comune e portiamo fuori il 36:
[math]\int_{0}^{4} \left( \frac{36+x^{-7}}{36} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]
[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \left( 36+x^{-7} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]
A questo punto anche se ti pare strano portiamo a denominatore
[math]x^7[/math]
facciamo denominatore comune e portiamo fuori un
[math]x^3[/math]
:
[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \frac{1}{x^3} \left( (36x^7+1)x^{-1} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]
Moltiplichiamo:
[math]\frac{1}{6} \int_{0}^{4} \frac{1}{x^3} \left( (36x^6+x^{-1} \right) ^ {\frac {1} {2} }\;dx[/math]
Dopodiché procederei per parti.

Adesso modifico ancora.
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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Ma la derivata è al quadrato: infatti la formula per calcolare la lungezza dell'arco di curva è
[math]L= \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'^2(x)}\, dx [/math]
the.track
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Scusa ho le traveggole. Ok. Dammi un attimo di tempo che ti risolvo l'integrale. e scusa per quanto ti h detto prima.
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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ok
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Io non avevo appurato la correttezza della derivata.
Abbiamo:
[math]f(x)=\sqrt{x^3}[/math]
Possiamo scrivere:
[math]f(x)=x^{\frac{3}{2}}[/math]
Da cui abbiamo:
[math]f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}[/math]
[math]y'=\frac{3}{2}\sqrt{x}[/math]
Capirai ora che è più facile calcolare l'integrale definito. Dimmi se non capisci qualcosa.

———————————

Impostiamo la formula:
[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ 1+\left( \frac{3}{2}\sqrt{x} \right)^2 }[/math]
Eseguendo il quadrato otteniamo:
[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ 1+ \frac{9}{4}x }[/math]
Denominatore comune:
[math]\int_{0}^{4} \sqrt{ \frac{4+9x}{4} }[/math]
Portiamo fuori il 4:
[math] \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{ 4+9x }[/math]
Poniamo la radice ad esponente:
[math] \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} } }[/math]
Moltiplichiamo dentro l'integrale per
[math]9[/math]
e per
[math]\frac{1}{9}[/math]
e portiamo fuori dall'integrale
[math]\frac{1}{9}[/math]
ottenendo così:
[math]\frac{1}{2*9} \int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} [/math]
Risolviamo l'integrale e abbiamo:
[math]\frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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the.track: Moltiplichiamo dentro l'integrale per
[math]9[/math]
e per
[math]\frac{1}{9}[/math]
e portiamo fuori dall'integrale
[math]\frac{1}{9}[/math]
ottenendo così:
[math]\frac{1}{2*9} \int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right)^{\frac{1}{2} [/math]
Risolviamo l'integrale e abbiamo:
[math]\frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]
Non ho capito bene questi ultimi due passaggi
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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[math]D\left[ f(x) \right]^n[/math]
Sappiamo che la derivata di questo tipo di funzione è:
[math]n\left[ f(x) \right] ^{n-1}*f'(x)[/math]
Sappiamo che l'integrale è l'operatore che calcola la primitiva. Puoi notare che noi di quel tipo di derivata abbiamo solamente questa parte:
[math]n\left[ f(x) \right] ^{n-1}[/math]
Dove
[math](4+9x)[/math]
è la nostra
[math]f(x)[/math]
. Vediamo che manca
[math]f'(x)[/math]
; ma
[math]f'(x)=9[/math]
. A questo punto noi dobbiamo avere dentro l'integrale un
[math]9[/math]
. Per averlo moltiplichiamo per
[math]1=\frac{1}{9}*9[/math]
e siccome possiamo considerare
[math]\frac{1}{9}[/math]
come costante, possiamo portarlo fuori dell'integrale ottenendo così:
[math]\int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right) ^{\frac{1}{2}}[/math]
ok? Se non hai capito dimmelo che cerco di essere più chiaro. :)
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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Si fino a qui ho capito. Ma poi perchè risolvendo l'integrale
[math]\int_{0}^{4} 9*\left( 4+9x \right) ^{\frac{1}{2}}[/math]
esce:
[math] \left[ \frac{2}{3} \left( 4+9x \right) ^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4}[/math]
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Usa la formula.
[math]\int \left[ f(x) \right]^n * f'(x)\;dx\; = \; \frac{1}{n+1}* \left[ f(x) \right]^{n+1}[/math]
Se non è questo che chiedevi dimmelo, che cercherò di essere più esauriente.
server90
server90 - Habilis - 270 Punti
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Si, era questo che volevo sapere. Grazie mille e scusa per le troppe domande :lol
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Figurati. Se ti rispondo è perché lo faccio volentieri.

Ti serve anche l'altra funzione??

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