ladyb
ladyb - Ominide - 18 Punti
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Qualcuno mi può aiutare a risolvere questi esercizi? :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Primo esercizio:

si tratta di reisolvere la disequazione.

Ma prima possiamo raccogliere al denominatore, una x^2, ottenendo

[math] \frac{2x (1+x^2)}{x^2(3x-1)} [/math]

Posto
[math] x \ne 0 [/math]
semplifichiamo la x al numeratore e denominatore ottenendo
[math] \frac{2(1+x^2)}{x(3x-1)} \ge 0 [/math]

Numeratore maggiore o uguale a zero:

[math] 2(1+x^2) \ge 0 \to 1+x^2 \ge 0 [/math]

risolvi l'equazione di secondo grado, notando che non ha soluzioni.

[math] 1+x^2 [/math]
sara' pertanto sempre positiva, pertanto il numeratore e' sempre positivo.
Determinera' il segno della disequazione solo il denominatore:

[math] D>0 \to x(3x-1)>0 [/math]

Studiamo fattore per fattore

[math] x>0 [/math]

[math] 3x-1>0 \to x>\frac13[/math]

Facciamo il grafico dei segni ottenendo

[math] x<0 \cup x> \frac13 [/math]

Che e' dunque l'intervallo in cui il denominatore e' maggiore di zero. Ed essendo il numeratore sempre maggiore di zero, e' anche la soluzione della disequazione..

Aggiunto 3 minuti più tardi:

2) abbiamo una funzione di funzione.

Le funzioni che notiamo sono: logaritmo, frazione.

Pertanto la derivata prima sara' la derivata del logaritmo x la derivata dell'argomento.

Calcoliamo la derivata dell'argomento:

[math] \frac{1(3x+2)-3(x-1)}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(3x+2)^2} [/math]

La derivata di log A e' 1/A, quindi avremo

[math] f'(x)= \frac{1}{\frac{x-1}{3x+2}} \cdot \frac{1}{(3x+2)^2}= \frac{3x+2}{x-1} \cdot \frac{1}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(x-1)(3x+2)} [/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

La terza. Non si puo' svolgere una funzione.... Cioe' non vuol dire nulla "svolgere una funzione"

Una funzione si studia.

Tutto quello che posso dirti e' che la funzione non ammette x-1=0 quindi esiste per x diverso da 1.

Poi non so... Magari ti calcolo la derivata prima... Non so che devi fare!

La deriviata di
[math] e^x [/math]
e'
[math] e^x[/math]

Anche qui hai funzione di funzione, quindi devi derivare
[math] e^{A} [/math]
(dove A e' l'argomento) che dara'
[math] e^{A} [/math]
e poi moltiplicare per la derivata dell'argomento...
Quindi la derivata dell'argomento (ovvero dell'esponente) sara'

(ricordando la derivata di una frazione che e'

[math] f(x)= \frac{f(x)}{g(x)} \to f'(x)= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} [/math]

(che e' la stessa formula che ho usato prima per l'argomento del logaritmo)

Avrai che la derivata dell'esponente e'

[math] \frac{2x(x-1)-1(x^2-2)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2+2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2} [/math]

PErtanto la derivata prima di tutta la funzione sara'

[math] f'(x)=e^{\(\frac{x^2-2}{x-1} \) } \frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2} [/math]

di piu' non so che dirti :)

Aggiunto 34 minuti più tardi:

@pioloreggente.

La limitazione
[math] x \ne 0 [/math]
nasce dalla semplificazione di x.
LA discussione del campo di esistenza si rende necessaria in quel momento, perche' semplificando si perde un'informazione.

La limitazione
[math] x \ne \frac13 [/math]
(e di nuovo
[math] x \ne 0 [/math]
) non occorre, in quanto viene inclusa nella discussione del segno del denominatore, che viene discusso > di 0 (in senso stretto) proprio per eliminare l'uguaglianza a zero.
Pertanto la tua discussione e' superflua, perche' compresa nello studio del segno del denominatore ;)
pioloreggente
pioloreggente - Erectus - 108 Punti
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Attento!
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
[math]x \neq 0[/math]
devi onsiderare
anche il caso in cui
[math](3x-1) \neq 0[/math]
e quindi
[math]x \neq \frac{1}{3}[/math]

Aggiunto 2 secondi più tardi:

Attento!
nella prima disequazione frazza oltre
che considerare il caso in cui
[math]x \neq 0[/math]
devi onsiderare
anche il caso in cui
[math](3x-1) \neq 0[/math]
e quindi
[math]x \neq \frac{1}{3}[/math]
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