iMERDONE
iMERDONE - Sapiens - 483 Punti
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Salve,
avrei delle domande sulle equazioni irrazionali:

1) Perchè l'equazione
[math]\sqrt[3]{x^2 - 1} = -10[/math]
è impossibile? (Lo afferma un esercizio del Libro)
2) Perchè invece l'equazione
[math]\sqrt[3]{x-1} = -10[/math]
non è impossibile?
3) Quali solo le condizioni di esistenza della seguente equazione irrazionale?
[math]\sqrt{x-4} + \sqrt[3]{x-5} = 0[/math]


4) Domanda Generale: Quando è che nelle Condizioni di Esistenza studio i segni? Ossia quando devo fare quella Tabella + - + - +? So che si fa quando ci sono le equazioni fratte ma volevo capire meglio.
nRT
nRT - Moderatore - 3304 Punti
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Ciao,
provo a darti una mano.

Esercizio 1

[math]\sqrt[3]{x^2 - 1} = -10 \\
x^2 - 1 = -10^3 \\
x^2 = -999 \\[/math]


[math]x^2[/math]
non può essere negativo.

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Esercizio 2

[math]\sqrt[3]{x-1} = -10 \\
x - 1 = -10^3 \\
x = -999
[/math]


Aggiunto 5 minuti più tardi:

Esercizio 3

Per trovare le condizioni di esistenza devi prendere il campo in cui stai lavorando -- di solito i numeri reali, ma potrebbe essere diverso se specificato -- ed escludere i valori dell'incognita per cui l'equazione non avrebbe senso.
In questo caso, come esempio, devi imporre che quello che sta sotto la radice quadrata non sia negativo, mentre per la radice cubica non abbiamo problemi, in quanto un numero negativo moltiplicato per un numero dispari di volte risulta negativo.

[math]\sqrt{x-4} + \sqrt[3]{x-5} = 0 \\
C.E.:\ x-4 \ge 0 \\
C.E.:\ x \ge 4 \\
[/math]


Aggiunto 10 minuti più tardi:

Domanda 4

Per sapere quando fare lo studio dei segni puoi ragionarci. Il bello della matematica è che se non si ricorda una cosa ci si può ragionare. :)
Prendiamo, ad esempio la disequazione:

[math]x^2 -x -6 > 0 \\
(x-3)(x+2)> 0 \\
[/math]


Quando il prodotto di due fattori è positivo? Quando sono entrambi negativi o quando sono entrambi positivi. Quindi ti fai la tabella con le soluzioni (-2 e 3 in questo caso) e disegni le linee per ogni fattore.
Quindi per

[math]x-3 > 0 \\
x>3 \\
x+2 >0 \\
x>-2 \\
[/math]


Ti verrà che positivo per positivo = positivo, positivo per negativo = negativo, negativo per negativo = positivo.
L'equazione in questo caso ci chiede quando è positivo e allora scegli le soluzioni positive, quindi

[math]x < -2 \vee x > 3 \\[/math]


Per le disequazioni fratte è la stessa cosa: quando i segni tra numeratore e denominatore sono discordi il risultato è negativo e quando sono concordi è positivo.

Spero ti possa essere d'aiuto. Se hai altri dubbi o domande o esempi particolari che vuoi chiarire postali pure qui.
Ciao :)
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