insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Si risolva l'equazione nel campo dei numeri complessi:
[math][(1-i sqrt(3))^4 z^5-(-1+i)^6] [z^2-|coniugato(z)-3|-3]=0 [/math]


abbiamo per via della legge dell'annullamento del prodotto che:

[math](1-i sqrt(3))^4 z^5-(-1+i)^6=0[/math]
(1)
e

[math]z^2-|coniugato(z)-3|-3=0[/math]
(2)

la prima possiamo riscriverla come


[math]z^5=(-1+i)^6/(1-i sqrt(3))^4[/math]

e semplificandola diventa


[math]z^5=8i/(1-i sqrt(3))^4[/math]



cioè devo calcolare le sue radici quinte...
come faccio???
e per la seconda equazione ottenuta come la risolvo...
se mi potete aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Capiamoci: l'equazione è la seguente

[math][(1-i\sqrt{3})^4 z^5-(-1+i)^6]\cdot[z^2-|\bar{z}-3|-3]=0[/math]


giusto? (per la radice, usa il comando \sqrt{3}, per il coniugato \bar{z}).

Ovviamente, come dicevi, devi separare l'equazione nelle due equazioni

[math](1-i\sqrt{3})^4 z^5-(-1+i)^6=0\\ z^2-|\bar{z}-3|-3=0[/math]

Per la prima, io innanzitutto riporterei i due numeri complessi presenti in forma trigonometria o esponenziale: osserva che

[math]1-i\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)\\ -1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)[/math]

pertanto svolgendo le potenze si ha (riducendo gli angoli all'intervallo
[math][0,2\pi][/math]
)
[math](1-i\sqrt{3})^4=16\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\\ (-1+i)^6=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)[/math]

La prima equazione si può quindi riscrivere (ricordando che se hai due numeri complessi in forma trigonometria, il loro modulo è il quoziente dei moduli mentre l'argomento è la differenza degli argomenti)

[math]z^5=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)[/math]

e pertanto con la formula di De Moivre inversa trovi

[math]z_k=\sqrt[5]{2}\left(\cos\frac{\pi/6+2k\pi}{5}+\sin\frac{\pi/6+2k\pi}{5}\right),\qquad k=0,\ldots,4[/math]

le cinque radici cercate.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Ok l'equazione è quella che hai scritto tu..
Per quanto riguarda la prima equazione va bene
ho capito...
Invece per la seconda equazione
come la risolvo..
Avrei pensato al merodo della sostituzione
ma non riesco a continuare...
Si mi puoi aiutare...
Grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Per la seconda direi che puoi fare alcune osservazioni: l'equazione si può riscrivere come

[math]|\bar{z}-3|=3-z^2[/math]

Ora, per definizione di modulo, esso è un numero reale positivo: dal momento che l'equazione ti dice che il numero complesso
[math]3-z^2[/math]
deve essere uguale ad un modulo, allora esso deve essere reale e positivo. Poniamo quindi
[math]z=x+iy[/math]
: abbiamo
[math]3-z^2=3-(x^2-y^2+2ixy)=3-x^2+y^2-2ixy\in\mathbb{R}[/math]

e pertanto deve essere
[math]x=0[/math]
oppure
[math]y=0[/math]

Se
[math]x=0\ \Rightarrow\ z=iy[/math]
e l'equazione diventa
[math]-y^2-|-iy-3|-3=0[/math]
: calcolando il modulo si ha
[math]-y^2-\sqrt{y^2+9}-3=0\ \Rightarrow\ y^2+\sqrt{y^2+9}+3=0[/math]

e tale equazione risulta impossibile in quanto somma di tre elemnti tutti non negativi.

Se invece
[math]y=0\ \Rightarrow\ z=x[/math]
e quindi
[math]x^2-|x-3|-3=0[/math]
è la nuova equazione. Questa si scompone nei due casi
[math]1)\ x\ge 3\ \Rightarrow\ x^2-x+3-3=0\ \Rightarrow\ x^2-x=0\ \Rightarrow\ x=0, x=1[/math]
entrambe soluzioni non accettabili, data la condizione

[math]2)\ x<3\ \Rightarrow\ x^2+x-3-3=0\ \Rightarrow\ x^2+x-6=0\ \Rightarrow\ x=-3,\ x=2[/math]
entrambe soluzioni accettabili.

Pertanto le soluzioni della seconda equazione sono
[math]z=-3,\ z=2[/math]
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