Saphira_Sev
Saphira_Sev - Habilis - 178 Punti
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Come si risolve questa equazione? Non riesco a fare la scomposizione T.T
x^4-8x^2+4=0
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Questa equazione non va scomposta (o almeno non serve scomporla) perché è una biquadratica.
Cioè:
[math]ax^4+bx^2+c=0\\è\ come\ dire:\\a(x^2)^2+bx^2+c=0\\quindi\ se\ pongo:\\x^2=y\\diventa:\\ay^2+by+c=0[/math]
.
.
e si risolve con al normale formula risolutrice.
L'unica cosa IMPORTANTE è ricordarsi che i risultati trovati (se esistono), cioè
[math]y_1\ e\ y_2[/math]
.
NON sono le soluzioni dell'equazione, perché l'equazione ORIGINALE è in "x", non in "y" .
Quindi:
[math]x_{1,2}=\pm \sqrt{y_1}\\x_{3,4}=\pm \sqrt{y_2}[/math]
.
.
Io personalmente, anziché sostituire
[math]x^2=y[/math]
, preferisco applicare direttamente la formula scrivendo:
[math]x^2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
.
.
perché in questo modo si vede BENE che sto calcolando "
[math]x^2[/math]
" e che dopo devo fare la radice quadrata di quello che trovo.
.
Lo steso procedimento vale per equazioni tipo:
[math]ax^6+bx^3+c=0\\x^3=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\e\\ax^8+bx^4+c=0\\x^4=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\in\ generale:\\ax^{2n}+bx^{n}+c=0\\x^{n}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]
.
.
queste sono le equazioni biquadratiche.
.
Nel caso specifico del tuo esercizio:
[math]x^4-8x^2+4=0\\(formula\ ridotta)\\x^2=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{1}=4\pm \sqrt{12}\\x_{1,2}=\pm \sqrt{4- \sqrt{12}}\\x_{3,4}=\pm \sqrt{4+\sqrt{12}} [/math]
.
.
Volendo risolvere i radicali doppi, basta applicare la formula specifica per i radicali doppi che io puntualmente NON mi ricordo a memoria (perché capita di rado.
Per risparmiarti la fatica vado a cercarla e te la scrivo

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Radicali doppi
.
[math]\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]
.
.
Come vedi la formula per "eliminare" un radicale doppio è mOOOOlto più complicata del radicale di partenza. Ha senso SE e SOLO SE
[math]a^2-b[/math]
è un quadrato perfetto, in caso contrario NON SI USA.
Nel nostro caso
[math]\sqrt{4+\sqrt{12}}\\abbiamo\\16-12=4=2^2[/math]
.
.
quindi il "formulone" diventa:
[math]\sqrt{4+\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{4+2}{2}}+\sqrt{\frac{4-2}{2}}=\sqrt3+1[/math]
.
ecc. ecc.
.
Fammi sapere.......
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