samue23
samue23 - Erectus - 52 Punti
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Mi aiutate a svolgere il 160 e 161 , spiegando i come si devono trovare i vertici e i fuochi perche non ho capito, grazie!
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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160.

cerchiamo di riscrivere l'equazione in una forma canonica, completando i quadrati:

[math](x-3)^2-9-2(y+3)^2+18-5=0[/math]

[math](x-3)^2-2(y+3)^2+4=0[/math]

[math]\frac{(x-3)^2}{4}-\frac{(y+3)^2}{2}=-1[/math]

Si tratta di un'iperbole che ha le concavita` verso l'alto e verso il basso.

I vertici stanno sulla retta
[math]x=3[/math]
e quindi si ottengono risolvendo l'equazione
[math]-\frac{(y+3)^2}{2}=-1[/math]

cioe`
[math](y+3)^2=2~~~~~~~~ y=-3\pm\sqrt{2}[/math]

Vertici:
[math](3,-3\pm\sqrt{2})[/math]

Gli asintoti si ottengono mettendo a 0 il secondo membro:

[math]\frac{(x-3)^2}{4}-\frac{(y+3)^2}{2}=0[/math]

[math]\frac{(x-3)^2}{4}=\frac{(y+3)^2}{2}[/math]

[math]\pm\frac{x-3}{2}=\frac{y+3}{\sqrt{2}}[/math]

[math]y=\pm\frac{x-3}{\sqrt{2}}-3[/math]

Anche i fuochi stanno sulla retta
[math]x=3[/math]
ed hanno ordinata:
[math]y=-3\pm\sqrt{4+2}=-3\pm\sqrt{6}[/math]

quindi i fuochi sono:
[math](3,-3\pm\sqrt{6})[/math]

Aggiunto 6 minuti più tardi:


161.

Stesso procedimento:

[math]4(x^2+4x)-5(y^2-2y)-9=0[/math]

[math]4[(x+2)^2-4]-5[(y-1)^2-1]-9=0[/math]

[math]4(x+2)^2-5(y-1)^2=20[/math]

[math]\frac{(x+2)^2}{5}-\frac{(y-1)^2}{4}=1[/math]

Questa \`e un'iperbole con le concavita` verso destra e sinistra.

I vertici stanno sulla retta
[math]y=1[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Per trovari i vertici basta sostituire
[math]y=1[/math]
e risolvere per x:
[math](x+2)^2=5~~~~~~ x=-2\pm\sqrt{5}[/math]

Vertici:
[math](-2\pm\sqrt{5},1)[/math]

Asintoti:

[math]\frac{(y-1)^2}{4}=\frac{(x+2)^2}{5}[/math]

[math]\frac{y-1}{2}=\pm\frac{x+2}{\sqrt{5}}[/math]

[math]y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}(x+2)+1[/math]

I fuochi hanno ordinata y=1 e ascissa:

[math]x=-2\pm\sqrt{4+5}=-2\pm 3[/math]
:
Fuochi:
[math](-5,1)[/math]
e
[math](1,1)[/math]
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