mark930
mark930 - Genius - 4428 Punti
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Salve, vorrei un chiarimento sulle disequazioni frazionarie di secondo grado.

La disequazione:


[math]\frac{(ax^2+bx+c)}{(2ax^2+2bx+2c)}>0[/math]

si risolve con il sistema:
[math]\begin{cases}
ax^2+bx+c\geq 0\\
2ax^2+2bx+2c>0
\end{cases}[/math]

Se invece la a del nominarore è negativa, la disequazione si risolve con i due sistemi:
[math]\begin{cases}
ax^2+bx+c>0\\
2ax^2+2bx+2c>0
\end{cases}
\\
\begin{cases}
ax^2+bx+c<0\\
2ax^2+2bx+2c<0
\end{cases}[/math]

Domande:
1) Perche se la a del numeratore è negativa si devono fare i due sistemi e non basta cambiare il segno della a e quindi il verso della disequazione?
2) Se la a del denominatore è negativa, come si risolve la disequazione?
3) Come si risolve la disequazione se il verso è minore e la a sia al numeratore che denominatore è positiva?
4) Come si risolve la disequazione se il verso è minore è la a al numeratore è negativa?
5) Come si risolve se il verso è minore e la a al denominatore è negativa?


Grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sinceramente non capisco perché vi proponino tutte quelle
procedure contorte quando ne esiste una ed una sola, tra
l'altro molto più semplice che quel garbuglio di sistemi.


Esempio
Data la disequazione
[math]\frac{x^2-x}{x^2-x-6}\le \frac{2}{(x+2)(x-3)}\\[/math]
come prima
cosa la si riporta nella seguente forma
[math]\frac{(x+1)(2-x)}{(x+2)(x-3)}\ge 0\\[/math]
.
A questo punto si studia la positività di tutti i fattori presenti a numeratore e
a denominatore, si costruisce la griglia dei segni, si fa il prodotto dei segni:

[math]
\begin{aligned}
& x+1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -1 \, ... \, -\,-\,-\,-\,[-1]\,+\,+\,+\,+\,+ \\
& 2-x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2 \, ..... \, +\,+\,+\,+\,+\,+\,+\,[2]\,-\,-\,- \\
& x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -2 \, ... \, -\,(-2)\,+\,+\,+\,+\,+\,+\,+\,+ \\
& x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3 \, ..... \, -\,-\,-\,-\,-\,-\,-\,-\,-\,(3)\,+ \\
& ....\,prodotto \;\, segni\,.... \; - \, (-2)\,+\,[-1]\;-\,[2]\,+\,(3)\,-
\end{aligned}\\
[/math]

Infine non rimane che selezionare gli intervalli in base al simbolo di disuguaglianza
presente nella disequazione ottenuta prima di passare allo studio della positività
dei vari fattori. Nello specifico selezioniamo gli intervalli non negativi ottenendo:

[math]Soluzione = \left\{ x \in \mathbb{R} : -2 < x \le -1, \; 2\le x < 3 \right\} \; .\\[/math]


Come non credo sia difficile capire l'algoritmo da seguire prescinde dal simbolo di
disuguaglianza e dal segno di numeratore e denominatore; proprio per tali motivi
questa è la via preferenziale. ;)
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