insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Si risolva la disequazione:

[math]log_{\frac{1}{2}}\left | e^{2sinx} -5e^{sinx}+6\right |\geq -1[/math]

allora ponendo
[math]t=e^{sinx}[/math]
, la disequazione diventa:
[math]log_{\frac{1}{2}}\left | t^{2} -5t+6\right |\geq -1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t^{2} -5t+6\neq 0\\
\left | t^{2} -5t+6\right |\leq 2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
[/math]
[math] \left\{\begin{matrix}
t\neq 2\, ,\, t\neq 3\\
t^{2} -5t+8\geq 0\\
t^{2} -5t+4\leq 0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t\neq 2\, ,\, t\neq 3\\
1\leq t\leq 4
\end{matrix}\right.[/math]

dunque la disequazione iniziale equivale a:
[math]\left\{\begin{matrix}
e^{sinx}\neq 2\, ,\, e^{sinx}\neq 3\\
1\leq e^{sinx}\leq 4
\end{matrix}\right. [/math]


e giusto???
come risolvo questo sistema avendo come esponente il seno...
se mi potete aiutare..
fatemi sapere..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Basta prendere i logaritmi e ottenere le tre condizioni seguenti:


[math]\sin x\not=\log 2,\qquad \sin x\not=\log 3,\qquad 0\leq\sin x\leq\log 4[/math]


Osserva che
[math]\log 3>1, \log 4>1[/math]
pertanto la seconda disequazione è sempre verificata mentre la terza si riduce a

[math]0\leq\sin x\le 1\ \Rightarrow\ 0\leq x\leq \pi[/math]


(possiamo limitarci all'intervallo
[math][0,2\pi][/math]
vista la periodicità della funzione). Inoltre, per la prima condizione, possiamo osservare che essendo
[math]0<\log 2< 1[/math]
esisterà un angolo
[math]\alpha\in (0,\pi/2)[/math]
tale che
[math]\sin\alpha=\log 2[/math]
e quindi la prima condizione implica che

[math]x\not=\alpha,\qquad x\not=\pi-\alpha[/math]


visto che per entrambi questi angoli si ottiene il valore logaritmo di 2. In definitiva la soluzione della disequazione risulta


[math][0,\alpha)\cup(\alpha,\pi-\alpha)\cup(\pi-\alpha,\pi][/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok..
ma come faccio a trovare il valore
[math]\alpha[/math]
...
se mi potresti spiegare meglio la seconda parte dell'esercizio..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Il valore esatto lo trovi con la calcolatrice, ma non te ne fai molto.
La cosa che ti serve è semplicemente dire che tale valore esiste e ti ho già spiegato il perché.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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il libro mi dà come soluzione:

[math]x\in \bigcup_{k\in \mathbb{Z}}\left [ 2k\pi ,\pi +2k\pi \right ] \left \{ arcsin \, log2+2k\pi ,\pi -arcsin \, log2+2k\pi \right \} [/math]


cosa vuol dire...
se mi puoi spiegare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Vuol dire esattamente quello che ti ho già scritto: chiama
[math]\alpha=\arcsin\log 2[/math]
, pertanto gli intervalli da tenere in considerazione sono quelli della forma
[math][0+2k\pi,\arcsin\log 2+2k\pi)\cup(\arcsin\log 2+2k\pi,\pi-\arcsin\log 2+2k\pi)\cup(\pi-\arcsin\log 2+2k\pi,\pi+2k\pi]=\\
[2k\pi,\pi+2k\pi]\setminus\left\{\arcsin\log 2+2k\pi,\ \pi-\arcsin\log 2+2k\pi\right\}[/math]

e quindi la soluzione è l'unione su tutti i k interi di tali insiemi.

Una osservazione: davvero non riesci da solo/a a capire cosa voglia dire quella simbologia? Male, molto male...
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok grazie mille
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