rica91
rica91 - Habilis - 172 Punti
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come si dimostra con la circonferenza goniometrica la quarta e la quinta relazione della goniometria relativa alla secante e cosecante. aiuto vi prego :hi

Aggiunto 1 giorni più tardi:

parlo della quarta relazione in cui si deve dimostrare che
[math]\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}[/math]
e della quinta in cui
[math]cosec\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}[/math]

spero che possiate aiutarmi grazie mille :hi
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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parli della relazione

[math] cosec^2x+ sec^2x= cosec^2 x \cdot sec^2 x [/math]
?
.

Aggiunto 3 giorni più tardi:

Disegna un triangolo rettangolo, retto in C, "estratto" dalla circonferenza goniometrica.
Considera che il triangolo rappresenta dunque il triangolo della circonferenza, traccia BD la perpendicolare ad AB in B, e chiama x dunque l'angolo CBD goniometrica, dove BC e' il raggio della circonferenza, CH e' il coseno dell'angolo x, HB il seno di x, AC la cotangente di x e AB la cosecante.

per capire meglio guarda l'illustrazione qui:

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Circle-trig6.svg

e considera dunque il triangolo che sulla circonferenza e' segnato come FAO.

la cosecante dunque, nel triangolo che ti ho fatto rappresentare, e' AB ovvero HB + AH.

HB e' il cateto del triangolo CHB per Pitagora:

[math] HB= \sqrt{1- \cos^2 x}= \sqrt{\sin^2 x }= \sin x [/math]

Analogamente AH (per Pitagora) e' il cateto del triangolo AHC, di ipotenusa AC (cotangente di x) e cateto CH (coseno di x)

[math] AH= \sqrt{ \cot^2 x - \cos^2 x}= \sqrt{ \frac{ \cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2x} = \sqrt{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x}}= \\ = \sqrt{ \frac{\cos^2 x (1- \sin^2 x)}{\sin^2 x}} = \sqrt{\frac{ \cos^4 x}{\sin^2 x}} = \frac{\cos^2 x}{\sin x}[/math]

Pertanto

[math] AH= \frac{cos^2 x}{\sin x} + \sin x = \frac{ \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x}= \frac{1}{\sin x} [/math]

L'altra dimostrazione e' del tutto analoga
aleio1
aleio1 - Mito - 18952 Punti
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se è quella che dice bit basta dividere ambo i membri della relazione fondamentale per
[math]sin^2x\cdot cos^2x[/math]
infatti si ha:
[math]sin^2x+cos^2x=1\rightarrow \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x\cdot cos^2x}=\frac1{sin^2x\cdot cos^2x}\rightarrow[/math]

[math]\rightarrow \frac{\not{sin^2x}}{\not{sin^2x}\cdot cos^2x}+ \frac{\not{cos^2x}}{sin^2x\cdot \not{cos^2x}}=\frac1{sin^2x}\cdot \frac1{cos^2x}\rightarrow[/math]

[math]\rightarrow sec^2x+cosec^2x=cosec^2x\cdot sec^2x[/math]
c.v.d.
Per quanto riguarda una dimostrazione geometrica ci sto lavorando..non so dove andrò a finite ma ci sto lavorando:)

Aggiunto 25 minuti più tardi:

Vediamo un po'...la butto lì..considera la circonferenza goniometrica (raggio unitario) ed un generico angolo
[math]\alpha[/math]
avente origine nel centro della circonferenza.
Esso individua un punto
[math]P[/math]
sulla circonferenza stessa e sappiamo che le intersezioni della tangente alla circonferenza passante per
[math]P[/math]
con l'asse
[math]x[/math]
e l'asse
[math]y[/math]
(in particolare rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di queste intersezioni rispetto al sistema di riferimento cartesiano avente origine anch'esso nel centro della circonferenza) sono nell'ordine
[math]sec\alpha[/math]
e
[math]cosec\alpha[/math]
.
Chiamiamo
[math]H[/math]
e
[math]K[/math]
rispettivamente le due intersezioni (ovvero i valori rispetto all'origine di secante e cosecante).
Consideriamo ora il triangolo
[math]HOK[/math]
. Sappiamo che
[math]OH^2+OK^2=HK^2[/math]
ed inoltre l'area di questo triangolo è data sia da
[math]A_{_{_{_{_{HOK}}}}}=OH\cdot OK[/math]

che da

[math]A_{_{_{_{_{HOK}}}}}=HK\cdot OP=HK[/math]

in quanto
[math]OP=1[/math]
è l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo che stiamo considerando essendo perpendicolare alla tangente passante per
[math]P[/math]
.
Dunque si ha in particolare che
[math]OH\cdot OK=HK\rightarrow OH^2\cdot OK^2=HK^2[/math]

Ma ricordando che prima abbiamo detto (per il teorema di pitagora) che

[math]HK^2=OH^2+OK^2[/math]
si ha
[math]OH^2+OK^2=OH^2\cdot OK^2[/math]

e ricordando che si aveva

[math]OH=cosec\alpha[/math]
e
[math]OK=sec\alpha[/math]

sostituendo si ha la relazione voluta:

[math]sec^2\alpha+cosec^2\alpha=sec^2\alpha\cdot cosec^2\alpha[/math]

penso possa andare e non dovrebbero esserci problemi con i quadrati dato che sono tutte distanze positive..ti consiglio di fare questo ragionamento nel primo quadrante ma penso si comporti bene anche negli altri..

Aggiunto 1 giorni più tardi:

:( tutto inutile..
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