Noctis Lucis Caelum
Noctis Lucis Caelum - Sapiens Sapiens - 1038 Punti
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E' dato il triangolo isoscele ABC di base AB. Prolungare i lati AC e BC dalla parte di A e B di due segmenti congruenti AD e BE. Detto O il punto di intersezione tra le rette DB e AE, dimostrare che la semiretta di origine C che passa per O è bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo dato.
Potete dirmi i passaggi che devo svolgere?
BIT5
BIT5 - Mito - 28447 Punti
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Considera i triangoli ABD e ABE.

Essi:

condividono il lato AB
hanno AD=BE per ipotesi
hanno gli angoli DAB=EBA in quanto angoli supplementari dello stesso angolo.

Pertanto per il primo criterio di congruenza, i due triangoli sono congruenti.

Da qui dunque aggiungiamo delle conclusioni, ovvero che

DB=AE
angolo BDA=BEA
Angolo ABD=BEA

Ora consideriamo i triangoli AOD e BOE

Essi hanno:
angolo ODA=BEA per la conclusione di prima;
AD=BE per ipotesi
angolo AOD=BOE perche' opposti al vertice
Angolo DAO=OBE per differenza (sono entrambi il terzo angolo di due triangoli che hanno gli altri due angoli congruenti)

Quindi anche i triangoli AOD e BOE sono congruenti.

Infine considera i triangoli COD e COE.

Essi hanno:
CO = CO (lato condiviso)
DO=OE per quanto concluso nella seconda dimostrazione (triangoli AOD e BOE)
Il lato CD=CE inquanto somma di segmenti congruenti a due a due (CA=CB per ipotesi, AD=BE per la prima dimostrazione fatta)

Inoltre (ma non serve) hanno l'angolo CDO = CEO

Pertanto per il terzo criterio di congruenza (lato,lato,lato) anche CDO=CEO

Pertanto gli angoli ACO=OCE perche' angoli corrispondenti di due triangoli congruenti.

E pertanto la semiretta CO e' bisettrice, perche' i due angoli formati sono congruenti
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