glic2002
glic2002 - Eliminato - 2 Punti
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Sui lati ab e cd di un parallelogramma abcd costruisci,esternamente ad esso, 2 triangoli equilateri abp e cdq. Dimosra che PQ e O sono allineati, e AQ e PC sono paralleli :thx :thx
nRT
nRT - Moderatore - 3301 Punti
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Ciao,
non è scritto, ma suppongo che O sia il centro del parallelogramma.
Se è così si può risolvere in questo modo:
facciamo il disegno come da testo e tracciamo le altezze dei triangoli equilateri in modo da avere l'altezza PE del triangolo ABP e l'altezza QF del triangolo DCQ

PE = FQ

perché sono le altezze di due triangoli equilateri aventi base di stessa lunghezza ( AB = CD )

E ed F sono i punti medi di AB e CD rispettivamente, quindi il segmento EF passa per O.
E, O e F sono allineati perché appartengono allo stesso segmento, inoltre:

EO = OF

Possiamo anche verificare che
[math]P \hat EO = O \hat FQ[/math]
perché somma di un angolo retto (
[math]A \hat EP[/math]
e
[math]C \hat FQ[/math]
) più i due angoli congruenti
[math]A \hat EO[/math]
e
[math]C \hat FO[/math]
(angoli alterni interni).
I triangoli EPO e FOQ sono quindi congruenti (due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti).

Se E, O ed F sono allineati, gli angoli
[math]F \hat OQ[/math]
ed
[math]E \hat OP[/math]
sono congruenti, allora anche P, O e Q sono allineati.
Per il secondo punto:

[math]AQ \parallel PC [/math]

Consideriamo i triangoli ADQ e BCP .

[math]AD = BC \\
DQ = BP \\
A \hat DQ = C \hat BP \\
[/math]


(perché somma degli angoli di 60° del triangolo equilatero con gli angoli opposti del parallelogramma.)
Ricaviamo che i triangoli ADQ e BCP sono congruenti.
Questo significa che:

[math]D \hat AQ = B \hat CP[/math]


Essendo AD e BC paralleli e gli angoli
[math]D \hat AQ[/math]
e
[math]B \hat CP[/math]
congruenti (presi entrambi in senso antiorario partendo dal lato del parallelogramma), allora AQ e CP sono paralleli.
Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
Ciao :)
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