postbasso
postbasso - Ominide - 14 Punti
Salva
mi servirebbe aiuto per questa dimostrazione. "Nel triangolo ABC rettangolo in A indica con H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa, con M e N i punti medi dei due cateti. Dimostra che i punti A, M, H, N giacciono su una stessa circonferenza". Siccome la condizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscritto ad una circonferenza è che gli angoli opposti siano supplementari, sto cercando di dimostrare che ANH e AMH e poi NAM e NHM sono supplementari, ma non so come muovermi
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Ipotesi:
[math]\small A\overset{\triangle}{B}C[/math]
rettangolo di
[math]\hat{A}[/math]
;
[math]AH[/math]
altezza relativa a
[math]BC[/math]
;
[math]AM \cong BM[/math]
;
[math]AN \cong NC\\[/math]
.

Tesi:

indicando con
[math]\gamma[/math]
la circonferenza, si ha
[math]A,\,M,\,H,\,N \in \gamma\\[/math]
.

Dimostrazione:

Dato che
[math]MN[/math]
unisce i punti medi dei cateti, per il corollario al teorema di Talete
si ha
[math]MN \parallel BC[/math]
. Detto
[math]K = MN \cap AH[/math]
, essendo
[math]AM \cong BM[/math]
per
ipotesi, per il teorema di Talete risulta
[math]AK \cong KH[/math]
. In
[math]\small A\overset{\triangle}{M}H[/math]
il segmento
[math]MK[/math]
è altezza e mediana; quindi tale triangolo è isoscele sulla base
[math]AH[/math]
e
risulta
[math]AM \cong MH[/math]
(analogamente si deduce che
[math]AN \cong NH\\[/math]
).
[math]\small A\overset{\triangle}{M}N[/math]
e
[math]\small M\overset{\triangle}{H}N[/math]
avendo tre lati ordinatamente congruenti risultano congruenti
per il 3° criterio di congruenza fra triangoli; inoltre segue che
[math]\small M\overset{\triangle}{H}N[/math]
è rettangolo
in
[math]\hat{H}[/math]
. Siamo al traguardo!! Infatti, notando che i due triangoli rettangoli appena
esaminati hanno in comune l'ipotenusa
[math]MN[/math]
e ricordando che ad un triangolo
rettangolo è sempre possibile circoscrivere una circonferenza di cui un diametro
è l'ipotenusa del triangolo rettangolo, si è dimostrato che
[math]A,\,M,\,H,\,N \in \gamma[/math]
,
circonferenza di diametro
[math]MN[/math]
.
[math]\square\\[/math]

Prova a vedere se ti ritrovi. ;)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Gioinuso

Gioinuso Geek 155 Punti

VIP
Registrati via email