refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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ciao,
mi potete aiutare con questo esercizio.
grazie:-)

mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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Scrivo per comodita`:

[math]u=x^2+y^2-6x-2y+5[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=(2x-6)(\mbox{atan } u+\frac{u}{u^2+1})\\
\frac{\partial f}{\partial y}=(2y-2)(\mbox{atan } u+\frac{u}{u^2+1})
[/math]

L'espressione tra parentesi si annulla solo per u=0, cioe` per
[math]x^2+y^2-6x-2y+5=0[/math]
: sono tutti i punti della circonferenza di centro C(3,1) e raggio sqrt(5), questi punti sono compresi nell'insieme E.
Invece il punto (3,1) non appartiene ad E.

Aggiunto 14 minuti più tardi:

I punti della circonferenza di centro C(3,1) e raggio sqrt(5) si possono parametrizzare con :

[math]x=\sqrt{5}\cos\phi+3\\ y=\sqrt{5}\sin\phi+1[/math]

Derivate seconde:
[math]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2(\mbox{atan } u+\frac{u}{u^2+1})+(2x-6)^2(\frac{1}{u^2+1}+\frac{1-u^2}{(u^2+1)^2})\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(\mbox{atan } u+\frac{u}{u^2+1})+(2y-2)^2(\frac{1}{u^2+1}+\frac{1-u^2}{(u^2+1)^2})\\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=(2x-6)(2y-2)(\frac{1}{u^2+1}+\frac{1-u^2}{(u^2+1)^2})
[/math]


Aggiunto 13 minuti più tardi:

Le derivate seconde, calcolate nei punti della circonferenza Gamma di centro (3,1) e di raggio sqrt(5) sono:

[math]\left.\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right|_\Gamma=40\cos^2\phi\\
\left.\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right|_\Gamma=40\sin^2\phi\\
\left.\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right|_\Gamma=40\sin\phi\cos\phi
[/math]

e la matrice hessiana e` identicamente nulla.

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Per studiare cosa succede sulla circonferenza Gamma conviene fare il cambio di variabile

[math]x=r\cos\phi+3\\ y=r\sin\phi+1[/math]
nella funzione data che diventa cosi`:
[math]f(x,y)=f(r,\phi)=(r^5-5)\mbox{atan}(r^2-5)[/math]
: questa funzione non dipende piu` da phi, ed ha un minimo per r=sqrt(5).
refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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grazie mille

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