ciampax
ciampax - Tutor - 29299 Punti
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Non è così semplice.

Quello di cui stiamo parlando in maniera specifica qui, rientra nel campo di argomento di quelle che si dicono serie numeriche. Una serie numerica è un oggetto della forma

[math]S=\sum_{n=0}^\infty a_n[/math]

dove
[math]\{a_n\}[/math]
è una successione di numeri reali (i.e. una apllicazione che ad ogni numero naturale n associa un numero reale
[math]a_n[/math]
).
I problemi relativi alla somma di una serie numerica (o come si dice, alla sua convergenza) rivestono la parte più importante relativa allo studio di questi oggetti. Ad esempio, la serie geometrica
[math]S=\sum_{n=0}^\infty q^n[/math]

ha come somma (converge a)
[math]1/(1-q)[/math]
quando
[math]|q|<1[/math]
, mentre ha somma infinita (diverge) per tutti gli altri valori di q.
Esistono risultati generali per determinare se una serie converga o meno, ma non esiste un modo generale per calcolare la somma di una serie. Ad esempio, per determinare la somma delle serie armoniche bisogno passare per la divergenza dell'integrale di 1/x, mentre per calcolare la somma della serie
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/math]

bisogna utilizzare dei metodi collegati allo sviluppo in serie di Taylor di funzioni continue!

Cmq, se ne vuoi sapere di più, fatti sentire.

plum
plum - Mito - 23902 Punti
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[math]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=1[/math]
è quindi un caso particolare
[math](q=\frac{1}{2})[/math]
di
[math]S=\sum_{n=0}^\infty q^n[/math]
e fin qui ci sono.
ciampax : Ad esempio, per determinare la somma delle serie armoniche bisogno passare per la divergenza dell'integrale di 1/x
ma se le serie armoniche (ne esiste più di una?) hanno divergenza infinita, è impossibile determinarne la somma (sempre che abbia capito bene)!
a proposito di serie, ho sentito che cambiando l'ordine degli elementi di una serie, questa possa diventare da divergente a convergente (o il contrario)... direi che è decisamente assurdo! sarebbe come dire che 2-1=1, mentre -1+2=
[math]+\infty![/math]
direi che non sono molto portato per la matematica pura!:lol
ciampax
ciampax - Tutor - 29299 Punti
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Eh Eh!

Sì, le serie armoniche in generale hanno la forma

[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}[/math]

con
[math]\alpha\in\mathbb{R}[/math]
. Tali serie (si può dimostrare) convergono quando
[math]\alpha>1[/math]
mentre divergono in tutti gli altri casi.
Per quanto riguarda il fatto del cambiare l'ordine degli elementi, sì è vero, ci sono paradossi per cui serie divergenti si possono trasformare in convergenti e viceversa.

Questo accade a cuasa del fatto che certe somme, almeno fino ad un numero finito (ma alto) di elementi danno risultati che per n sempre maggiore tendono ad essere finite, mentre altre somme sono tali per cui al limite tendono all'infinito. E' possibile scrivere una somma in un modo piuttosto che in un altro, ma i paradossi si basano sul fatto di contare la somma fino ad un numero finito e poi mandare tale somma all'infinito. Infatti, se non succede che in generale il termine generico

[math]a_n[/math]
di una serie numerica diventi sempre più piccolo al crescere di n, si incappa in tali paradossi.
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ciampax : Questo accade a cuasa del fatto che certe somme, almeno fino ad un numero finito (ma alto) di elementi danno risultati che per n sempre maggiore tendono ad essere finite, mentre altre somme sono tali per cui al limite tendono all'infinito. E' possibile scrivere una somma in un modo piuttosto che in un altro, ma i paradossi si basano sul fatto di contare la somma fino ad un numero finito e poi mandare tale somma all'infinito. Infatti, se non succede che in generale il termine generico
[math]a_n[/math]
di una serie numerica diventi sempre più piccolo al crescere di n, si incappa in tali paradossi.
:con non mi è molto chiaro... potresti spiegarlo magari con un esempio (sempre che esista)?
ciampax
ciampax - Tutor - 29299 Punti
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MMMMMMMMMMMM!!!!!!!!!!

Vedo di cercare qualcosa appena ho tempo!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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immaginavo che la mia fosse una richiesta impossibile, ma bisogna sempre provare... soprattutto se il lavoro spetta ad altri!:lol

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